Question

如圖，以正方形ABCD邊BC為直徑，在正方形內(nèi)作半圓O，過A作半圓的切線AF，切點(diǎn)為E，AF交BC的延長線于點(diǎn)F，求sin∠F的值．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：連接OE，根據(jù)切線的性質(zhì)求得OE⊥AF，進(jìn)而求得△ABF∽△OEF得出AF=2OF，設(shè)正方形的邊長為1，再根據(jù)AF=2OF求出EF=

1

2

CF，設(shè)CF=x，則EF=2x，
即可表示出AF=1+2x，BC=1+x，AB=1，然后根據(jù)勾股定理求得CF，得出AF的值即可求出sin∠F；

解答：解：連接OE，
∵AF是半圓O的切線，
∴OE⊥AF，
∴∠B=∠OEF，∠AFB=∠OFE，
∴△ABF∽△OEF，
∴

AF

OF

=

AB

OE

=

2

1

，
∴AF=2OF，
設(shè)正方形的邊長為1，
∴AB=BC=1，OC=

1

2

，
∵AB⊥CB，
∴AB是半圓O的切線，
∴AB=AE=1，
∴AE+EF=2（OC+CF），即1+EF=2（

1

2

+CF），
∴EF=

1

2

CF，
設(shè)CF=x，則EF=2x，
∴AF=1+2x，BC=1+x，AB=1，
∴根據(jù)勾股定理：1²+（1+x）²=（1+2x）²，解得：x=

1

3

，
∴AF=1+2×

1

3

=

5

3

，
∴sin∠F=

AB

AF

=

1

5 3

=

3

5

．

點(diǎn)評：本題綜合考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、正方形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義等知識(shí)點(diǎn)．解題的關(guān)鍵在于根據(jù)已知條件找到相似三角形．