Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=60°，AB=10，BC=4，點P沿線段AB從點A向點B運動，設AP=x．
（1）求AD的長；
（2）點P在運動過程中，是否存在以A、P、D為頂點的三角形與以P、C、B為頂點的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質,直角梯形

專題：

分析：（1）過C作CE⊥AB于點E，在△CEB中可求得CE，即可求得AD的長；
（2）因為△APD為直角三角形，所以△PBC也為直角三角形，分∠PCB=90°和∠CPB=90°兩種情況進行討論求解即可．

解答：解：（1）如圖，過C作CE⊥AB于點E，

則四邊形AECD為矩形，
∴AD=CE，
在Rt△BEC中，BC=4，∠B=60°，
∴CE=BC•sin60°=4×

3

2

=2

3

；
（2）存在．
若以A、P、D為頂點的三角形與以P、C、B為頂點的三角形相似，則△PCB必有一個角是直角．
①當∠PCB=90°時，
在Rt△BCP中，∠B=60°，BC=4，
可求得BP=8，此時AP=2，
在Rt△ADP中，由勾股定理可求得PD=4

3

，
∴

PD

BP

=

4 3

8

=

3

2

，

AD

BC

=

2 3

4

，
∴

PD

BP

=

AD

BC

，且∠DAP=∠PCB，
∴△ADP∽△CPB，
此時AP=x=2；
②當∠CPB=90°時，P點即為E點位置，此時BP=2，AP=8，即
∵

AD

BP

=

2 3

2

=

3

，

AP

CP

=

8

2 3

，
∴

AD

BP

≠

AP

CP

，
∴△PCB與△ADP不相似，
綜上可知當x=2時，△ADP∽△CPB．

點評：本題主要考查相似三角形的判定和性質及直角三角形的性質，掌握三角形相似的判定方法及性質是解題的關鍵，注意含60°角的直角三角形的性質的利用．