Question

已知：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙P的圓心P（3，0），半徑為5，⊙P與拋物線y=ax²+bx+c
（a≠0）的交點(diǎn)A、B、C剛好落在坐標(biāo)軸上．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，經(jīng)過(guò)C、D的直線是否與⊙P相切？若相切，請(qǐng)證明；若不相切，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）如圖2，點(diǎn)F是點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸PD的對(duì)稱點(diǎn)，若直線AF交y軸于點(diǎn)K，點(diǎn)G為直線PD上的一動(dòng)點(diǎn)，則x軸上是否存在一點(diǎn)H，使C、G、H、K四點(diǎn)所圍成的四邊形周長(zhǎng)最��？若存在，求出這個(gè)最小值及點(diǎn)G、H的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=ax²+bx+c（a≠0），由已知條件可求出A，B，C的坐標(biāo)代入拋物線解析式求出a，b，c的值即可；
（2）直線CD與⊙P相切，易求直線y_CD=k₁x+b₁連接PC，設(shè)經(jīng)過(guò)C（0，4）、P（3，0）的直線y_PC=k₂x+b₂，可求出直線的解析式，因?yàn)?span id="tkr1w1d" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">k1•k2=

3

4

•(-

4

3

)=-1，
所以CD⊥PC 且CD經(jīng)過(guò)⊙P的半徑外端點(diǎn)C，所以直線CD是⊙P的切線；
（3）因?yàn)閽佄锞�的對(duì)稱軸是x=3，所以點(diǎn)F（6，4），設(shè)經(jīng)過(guò)A（-2，0）、F（6，4）的直線y_AF=m₁x+n₁，則可求出直線的解析式，連接K'F交對(duì)稱軸PD于點(diǎn)G，交x軸于點(diǎn)H，則C、G、H、K四點(diǎn)所圍成的四邊形周長(zhǎng)最小，再利用給出的已知數(shù)據(jù)即可求出其最小值．

解答：解：（1）∵⊙P的圓心P（3，0），半徑為5，
∴A（-2，0）、B（8，0）、C（0，4），
∴設(shè)拋物線的解析式為：y=ax²+bx+c（a≠0）

c=4 4a-2b+c=0 64a+8b+c=0

，
∴

a=- 1 4 b= 3 2 c=4

，
∴所求拋物線的關(guān)系式為：y=-

1

4

x2+

3

2

x+4．

（2）直線CD與⊙P相切．
理由如下：由y=-

1

4

x2+

3

2

x+4的頂點(diǎn)D(3，

25

4

)
設(shè)經(jīng)過(guò)C（0，4）、D(3，

25

4

)的直線y_CD=k₁x+b₁
得

3k1+b1= 25 4 b1=4

，
解之得

k1= 3 4 b1=4

∴yCD=

3

4

x+4，
連接PC，如圖1，
設(shè)經(jīng)過(guò)C（0，4）、P（3，0）的直線y_PC=k₂x+b₂

3k2+b1=0 b2=4

，
解之得

k2=- 4 3 b2=4

∴yPC=-

4

3

x+4，
又∵k1•k2=

3

4

•(-

4

3

)=-1，
∴CD⊥PC 且CD經(jīng)過(guò)⊙P的半徑外端點(diǎn)C
∴直線CD是⊙P的切線．
 
（3）存在，理由如下：
∵拋物線的對(duì)稱軸是x=3，
∴點(diǎn)F（6，4）
設(shè)經(jīng)過(guò)A（-2，0）、F（6，4）的直線y_AF=m₁x+n₁
∴

-2m1+n1=0 6m1+n1=4

解之得

m1= 1 2 n1=1

∴yAF=

1

2

x+1與y軸交于點(diǎn)K（0，1）
又∵點(diǎn)K（0，1）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)K'（0，-1）
連接K'F交對(duì)稱軸PD于點(diǎn)G，交x軸于點(diǎn)H，如圖2
則C、G、H、K四點(diǎn)所圍成的四邊形周長(zhǎng)最�。�
又設(shè)經(jīng)過(guò)K'（0，-1）、F（6，4）的直線yK′F=m2x+n2
∴

6m2+n2=4 n2=-1

解之得

m2= 5 6 n2=-1

∴yK′F=

5

6

x-1
當(dāng)y=0時(shí)，x=

6

5

即H(

6

5

，0)；
當(dāng)x=3時(shí)，y=

3

2

即G(3，

3

2

)，
∴FK′=

(6-0)2+(4+1)2

=

61

CK=4-1=3，
∴四邊形CGHK的最小周長(zhǎng)l=3+

61

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、一次函數(shù)解析式得確定，勾股定理的運(yùn)用，軸對(duì)稱的性質(zhì)、線段最短的問(wèn)題、圓的切線的判定及性質(zhì)、函數(shù)圖象交點(diǎn)的求法和利用數(shù)形結(jié)合以及分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法求出是解題關(guān)鍵．