Question

如圖，兩同心圓半徑分別為

3

、3，點A、B分別為兩同心圓上的動點，以AB為邊作正方形ABCD，則OD的最大值為

 

．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,三角形三邊關系,正方形的性質

專題：

分析：把AO繞點A順時針旋轉90°得到AO′，得到△AOO′是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質求出OO′，再根據正方形的性質可得AB=AD，再求出∠BAO=∠DAO′，然后利用“邊角邊”證明△ABO和△ADO′全等，根據全等三角形對應邊相等可得DO′=BO，再根據三角形的任意兩邊之和大于第三邊求解即可．

解答：解：如圖，把AO繞點A順時針旋轉90°得到AO′，
∴△AOO′是等腰直角三角形，
∵AO=3，
∴OO′=

2

AO=3

2

，
在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，
∵∠BAO+∠BAO′=∠DAO′+∠BAO′=90°，
∴∠BAO=∠DAO′，
在△ABO和△ADO′，

AO=AO′ ∠BAO=∠DAO′ AB=AD

，
∴△ABO≌△ADO′（SAS），
∴DO′=BO=

3

，
∴OO′+O′D≥OD，
當O、O′、D三點共線時，取“=”，
此時，OD的最大值為3

2

+

3

．
故答案為：3

2

+

3

．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，利用旋轉作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵，也是本題的難點．