Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，過點(diǎn)B作射線BB₁∥AC．動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AC方向以每秒5個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)C出發(fā)沿射線AC方向以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)D作DH⊥AB于H，過點(diǎn)E作EF⊥AC交射線BB₁于F，G是EF中點(diǎn)，連接DG．設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，AD=AB，并求出此時(shí)DE的長度；
（2）當(dāng)△DEG與△ACB相似時(shí)，求t的值；
（3）以DH所在直線為對稱軸，線段AC經(jīng)軸對稱變換后的圖形為A′C′．當(dāng)線段A′C′與射線BB₁，有公共點(diǎn)時(shí)，求t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理可求得AB的長，即可得到AD、t的值，從而確定AE的長，由DE=AE-AD即可得解．
（2）若△DEG與△ACB相似，要分兩種情況：AG：DE=DH：GE和AH：EG=DH：DE，根據(jù)這些比例線段即可求得t的值．（需注意的是在求DE的表達(dá)式時(shí)，要分AD＞AE和AD＜AE兩種情況）；
（3）分兩種情況討論，當(dāng)A′落在射線BB₁上時(shí)（如圖甲）和當(dāng)點(diǎn)C′落在射線BB₁上時(shí)（如圖乙），根據(jù)AA′=AB=5，求出t的值，再根據(jù)CC′∥AB，得出四邊形ACC′B為平行四邊形，求出CC′=AB=5，從而求出t的取值范圍．

解答：解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=

32+42

=5．
∵AD=5t，CE=3t，
∴當(dāng)AD=AB時(shí)，5t=5，即t=1；
∴AE=AC+CE=3+3t=6，DE=6-5=1．

（2）∵EF=BC=4，G是EF的中點(diǎn)，
∴GE=2，
當(dāng)AD＜AE（即t＜

3

2

）時(shí)，DE=AE-AD=3+3t-5t=3-2t，
若△DEG與△ACB相似，則

DE

EG

=

AC

BC

或

DE

EG

=

BC

AC

，
∴

3-2t

2

=

3

4

或

3-2t

2

=

4

3

，
∴t=

3

4

或t=

1

6

；
當(dāng)AD＞AE（即t＞

3

2

）時(shí)，DE=AD-AE=5t-（3+3t）=2t-3，
若△DEG與△ACB相似，則

DE

EG

=

AC

BC

或

DE

EG

=

BC

AC

，
∴

2t-3

2

=

3

4

或

2t-3

2

=

4

3

，
解得t=

9

4

或t=

17

6

；
綜上所述，當(dāng)t=

3

4

或

1

6

，

9

4

或

17

6

時(shí)，△DEG與△ACB相似．

（3）當(dāng)A′落在射線BB₁上時(shí)（如圖甲），
∵AA′=AB=5，
∴6t=5，
∴t=

5

6

；
當(dāng)點(diǎn)C′落在射線BB₁上時(shí)（如圖乙），得CC′∥AB；
則四邊形ACC′B為平行四邊形，
∴CC′=AB=5，
∴6t-

18

5

=5，t=

43

30

．
∴t的取值范圍

5

6

≤t≤

43

30

．

點(diǎn)評：此題考查了勾股定理、軸對稱的性質(zhì)、平行四邊形及梯形的判定和性質(zhì)、解直角三角形、相似三角形等相關(guān)知識(shí)，綜合性強(qiáng)，是一道難度較大的壓軸題．