Question

如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O為BC的中點．

（1）寫出點O到△ABC的三個頂點A、B、C的距離的關系（不要求證明）

（2）如果點M、N分別在線段AB、AC上移動，在移動過程中保持AN=BM，請判斷△OMN的形狀，請證明你的結(jié)論．

Answer 1

【考點】等腰直角三角形；全等三角形的判定與性質(zhì)．

【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)推出即可；

（2）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出∠B=∠C=45°=∠BOA=∠CAO，根據(jù)SAS證△BOM≌△AON，推出OM=ON，∠AON=∠BOM，求出∠MON=90°，根據(jù)等腰直角三角形的判定推出即可．

【解答】解：（1）點O到△ABC的三個頂點A、B、C的距離的關系是OA=OB=OC；

（2）△OMN的形狀是等腰直角三角形，

證明：∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O為BC中點，

∴OA=OB=OC，AO平分∠BAC，AO⊥BC，

∴∠AOB=90°，∠B=∠C=45°，∠BAO=∠CAO=45°，

∴∠CAO=∠B，

在△BOM和△AON中

∵，

∴△BOM≌△AON（SAS），

∴OM=ON，∠AON=∠BOM，

∵∠AOB=∠BOM+∠AOM=90°，

∴∠AON+∠AOM=90°，即∠MON=90°，

∴△OMN是等腰直角三角形．

【點評】本題考查了直角三角形斜邊上中線，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)等知識點的應用，題目比較好，主要考查了學生運用定理進行推理的能力．