Question

如圖，正方形AOCB在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)B在反比例函數(shù)（x＞0）圖象上，△BOC的面積為8．

（1）求反比例函數(shù)的關(guān)系

（2）若動(dòng)點(diǎn)E從A開始沿AB向B以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)F從B開始沿BC向C以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)．若運(yùn)動(dòng)時(shí)間用t表示，△BEF的面積用S表示，求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t取何值時(shí)，△BEF的面積最大？

（3）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P，使△PEF的周長最��？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

（1）y=；（2）S=-（t-2）2+4，當(dāng)t=2時(shí)，△BEF的面積最大；（3）（，0）或（0，）．

【解析】

試題分析：（1）首先利用三角形面積求出正方形邊長，進(jìn)而得出B點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出反比例函數(shù)解析式；

（2）表示出△BEF的面積，再利用二次函數(shù)最值求法得出即可；

（3）①作F點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)F1，得F1（4，-），經(jīng)過點(diǎn)E、F1作直線求出圖象與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)即可；

②作E點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)E1，得E1（-，4），經(jīng)過點(diǎn)E1、F作直線求出圖象與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)即可．

試題解析：（1）∵四邊形AOCB為正方形，

∴AB=BC=OC=OA，

設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)為（a，a），

∵S△BOC=8，

∴a2=8，

∴a=±4

又∵點(diǎn)B在第一象限

點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，4），

將點(diǎn)B（4，4）代入y=得，k=16

∴反比例函數(shù)解析式為y=

（2）∵運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，

∴AE=t，BF=2t

∵AB=4，∴BE=4-t，

∴S△BEF=(4-t)•2t=-t2+4t=-（t-2）2+4，

∴當(dāng)t=2時(shí)，△BEF的面積最大；

（3）存在．

當(dāng)t=時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，4），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，）

①作F點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)F1，得F1（4，-），經(jīng)過點(diǎn)E、F1作直線

由E（，4），F(xiàn)1（4，-）代入y=ax+b得：

解得：

可得直線EF1的解析式是y=-2x+

當(dāng)y=0時(shí)，x=

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0）

②作E點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)E1，得E1（-，4），經(jīng)過點(diǎn)E1、F作直線

由E1（-，4），F(xiàn)（4，）

設(shè)解析式為：y=kx+c，

解得：，

可得直線E1F的解析式是：y=-x+

當(dāng)x=0時(shí)，y=

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，），

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（，0）或（0，）．

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題．