【題目】如圖,已知AB⊥BD,CD⊥BD
(1)若AB=9,CD=4,BD=10,請問在BD上是否存在P點,使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似?若存在,求BP的長;若不存在,請說明理由;
(2)若AB=9,CD=4,BD=12,請問在BD上存在多少個P點,使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似?并求BP的長;
(3)若AB=9,CD=4,BD=15,請問在BD上存在多少個P點,使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似?并求BP的長;
(4)若AB=m,CD=n,BD=l,請問m,n,l滿足什么關系時,存在以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似的一個P點?兩個P點?三個P點?
【答案】解:(1)存在P點,使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似。
理由是:設BP=x,
∵AB⊥BD,CD⊥BD,∴∠B=∠D=90°。
∴當或時,使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似。
①若,則,解得:x=。
②若,則,即x2﹣10x+36=0,△=(﹣10)2﹣4×1×36<0,此方程無解。
∴存在P點,使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似,此時BP的值為。
(2)在BD上存在2個P點,使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似,
理由是:設BP=x,
∵AB⊥BD,CD⊥BD,∴∠B=∠D=90°。
∴當或時,使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似。
①若,則,解得:x=。
②若,則,即x2﹣12x+36=0,解得:x1=x2=6。
∴存在2個點P,使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似,此時BP的值為或6。
(3)在BD上存在3個P點,使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似。
理由是:設BP=x,
∵AB⊥BD,CD⊥BD,∴∠B=∠D=90°。
∴當或時,使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似。
①若,則,解得:x=。
②若,則,即x2﹣15x+36=0,解得:x1=3,x2=12。
∴存在3個點P ,使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似,此時BP的值為或3或12。
(4)設BP=x,
∵AB⊥BD,CD⊥BD,∴∠B=∠D=90°。
∴當或時,使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似。
①若,則,解得:x=。
②若,則,即x2﹣lx+mn=0。
∵△=(﹣l)2﹣4×1×mn=l2﹣4mn,
∴當l2﹣4mn<0時,方程沒有實數(shù)根;當l2﹣4mn=0時,方程有2個相等的實數(shù)根;當l2﹣4mn>0時,方程有2個不相等的實數(shù)根。
∴當l2﹣4mn<0時,存在以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似的一個P點;
當l2﹣4mn=0時,存在以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似的兩個P點;
當l2﹣4mn>0時,存在以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似的三個P點。
【解析】
(1)存在P點,使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似,設BP=x,根據(jù)∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出或時,使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似,代入求出即可。
(2)存在P點,使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似,設BP=x,根據(jù)∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出或時,使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似,代入求出即可。
(3)存在P點,使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似,設BP=x,根據(jù)∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出或時,使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似,代入求出即可。
(4)存在P點,使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似,設BP=x,根據(jù)∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出當或時使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似,代入后根據(jù)根的判別式進行判斷即可。
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,AB=AC,點D是射線BC上一點(不與B,C重合),以AD為一邊在AD的右側作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,連接CE.
(1)若∠BAC=90°.
①如圖1,當點D在線段BC上時,∠BCE= °;
②當點D在線段BC的延長線上時,如圖2,①中的結論是否仍然成立?請說明理由;
(2)若∠BAC=75°,點D在射線BC上,∠BCE= °;
(3)若點D在直線BC上移動,其他條件不變.設∠BAC=α,∠BCE=β,α與β有怎樣的數(shù)量關系?請直接寫出你的結論.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在長方形OABC中,O為平面直角坐標系的原點,點A坐標為(a,0),點C的坐標為(0,b),且a、b滿足+|b-6|=0,點B在第一象限內,點P從原點出發(fā),以每秒2個單位長度的速度沿著O-C-B-A-O的線路移動.
(1)a=______________,b=_____________,點B的坐標為_______________;
(2)當點P移動4秒時,請指出點P的位置,并求出點P的坐標;
(3)在移動過程中,當點P到x軸的距離為5個單位長度時,求點P移動的時間.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,二次函數(shù)圖象的頂點坐標為C(1,﹣2),直線y=kx+m的圖象與該二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點,其中A點坐標為(3,0),B點在y軸上.點P為線段AB上的一個動點(點P與點A、B不重合),過點P且垂直于x軸的直線與這個二次函數(shù)的圖象交于點E.
(1)求這個二次函數(shù)的解析式;
(2)設點P的橫坐標為x,求線段PE的長(用含x 的代數(shù)式表示);
(3)點D為直線AB與這個二次函數(shù)圖象對稱軸的交點,若以點P、E、D為頂點的三角形與△AOB相似,請求出P點的坐標.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC的頂點坐標分別為A(1,3)、B(4,2)、C(2,1).
(1)作出與△ABC關于x軸對稱的△A1B1C1,并寫出A1、B1、C1的坐標;
(2)以原點O為位似中心,在原點的另一側畫出△A2B2C2,使.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩家體育用品商店出售相同的乒乓球和乒乓球拍,乒乓球每盒定價5元,乒乓球拍每副定價20元.現(xiàn)兩家商店都搞促銷活動,甲店每買一副球拍贈一盒乒乓球;乙店按九折優(yōu)惠.某班級需購球拍4副,乒乓球x盒(x≥4).
(1)若在甲店購買付款(元),在乙店購買付款(元),分別寫出與x的函數(shù)關系式;
(2)買30盒乒乓球時,在哪家商店購買合算?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知:甲乙兩車分別從相距300千米的A、B兩地同時出發(fā)相向而行,其中甲到達B地后立即返回,如圖是甲乙兩車離A地的距離y(千米)與行駛時間x(小時)之間的函數(shù)圖象.
(1)求甲車離A地的距離y甲(千米)與行駛時間x(小時)之間的函數(shù)關系式,并寫出自變量的取值范圍;
(2)若它們出發(fā)第5小時時,離各自出發(fā)地的距離相等,求乙車離A地的距離y乙(千米)與行駛時間x(小時)之間的函數(shù)關系式,并寫出自變量的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,求它們在行駛的過程中相遇的時間.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】【提出問題】
(1)如圖1,在等邊△ABC中,點M是BC上的任意一點(不含端點B、C),連結AM,以AM為邊作等邊△AMN,連結CN.求證:∠ABC=∠ACN.
【類比探究】
(2)如圖2,在等邊△ABC中,點M是BC延長線上的任意一點(不含端點C),其它條件不變,(1)中結論∠ABC=∠ACN還成立嗎?請說明理由.
【拓展延伸】
(3)如圖3,在等腰△ABC中,BA=BC,點M是BC上的任意一點(不含端點B、C),連結AM,以AM為邊作等腰△AMN,使頂角∠AMN=∠ABC.連結CN.試探究∠ABC與∠ACN的數(shù)量關系,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在如圖所示的正方形網格中,每個小正方形的邊長為1,格點三角形ABC(頂點是網格線的交點的三角形)的頂點B、C的坐標分別為(﹣2,0),(﹣1,2).
(1)請在如圖所示的網格中根據(jù)上述點的坐標建立對應的直角坐標系;(只要畫圖,不需要說明)
(2)在(1)中建立的平面直角坐標系中,先畫出△ABC關于y軸對稱的圖形△A1B1C1,再畫出△A1B1C1關于x軸對稱的圖形△A2B2C2.
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