【題目】【提出問題】
(1)如圖1,在等邊△ABC中,點M是BC上的任意一點(不含端點B、C),連結(jié)AM,以AM為邊作等邊△AMN,連結(jié)CN.求證:∠ABC=∠ACN.
【類比探究】
(2)如圖2,在等邊△ABC中,點M是BC延長線上的任意一點(不含端點C),其它條件不變,(1)中結(jié)論∠ABC=∠ACN還成立嗎?請說明理由.
【拓展延伸】
(3)如圖3,在等腰△ABC中,BA=BC,點M是BC上的任意一點(不含端點B、C),連結(jié)AM,以AM為邊作等腰△AMN,使頂角∠AMN=∠ABC.連結(jié)CN.試探究∠ABC與∠ACN的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
【答案】見解析
【解析】解:(1)證明:∵△ABC、△AMN是等邊三角形,∴AB=AC,AM=AN,∠BAC=∠MAN=60°。
∴∠BAM=∠CAN。
∵在△BAM和△CAN中,,
∴△BAM≌△CAN(SAS)。∴∠ABC=∠ACN。
(2)結(jié)論∠ABC=∠ACN仍成立。理由如下:
∵△ABC、△AMN是等邊三角形,∴AB=AC,AM=AN,∠BAC=∠MAN=60°。
∴∠BAM=∠CAN。
∵在△BAM和△CAN中,,
∴△BAM≌△CAN(SAS)。∴∠ABC=∠ACN。
(3)∠ABC=∠ACN。理由如下:
∵BA=BC,MA=MN,頂角∠ABC=∠AMN,∴底角∠BAC=∠MAN。
∴△ABC∽△AMN。∴。
又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC,∠CAN=∠MAN﹣∠MAC,∴∠BAM=∠CAN.
∴△BAM∽△CAN。∴∠ABC=∠ACN。
(1)利用SAS可證明△BAM≌△CAN,繼而得出結(jié)論。
(2)也可以通過證明△BAM≌△CAN,得出結(jié)論,和(1)的思路完全一樣。
(3)首先得出∠BAC=∠MAN,從而判定△ABC∽△AMN,得到,根據(jù)∠BAM=∠BAC﹣
∠MAC,∠CAN=∠MAN﹣∠MAC,得到∠BAM=∠CAN,從而判定△BAM∽△CAN,得出結(jié)論。
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】省射擊隊為從甲、乙兩名運動員中選拔一人參加全國比賽,對
他們進(jìn)行了六次測試,測試成績?nèi)缦卤恚▎挝唬涵h(huán)):
第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 | 第五次 | 第六次 | |
甲 | 10 | 8 | 9 | 8 | 10 | 9 |
乙 | 10 | 7 | 10 | 10 | 9 | 8 |
(1)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),計算出甲的平均成績是 環(huán),乙的平均成績是 環(huán);
(2)分別計算甲、乙六次測試成績的方差;
(3)根據(jù)(1)、(2)計算的結(jié)果,你認(rèn)為推薦誰參加全國比賽更合適,請說明理由.
(計算方差的公式:s2=[])
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知AB⊥BD,CD⊥BD
(1)若AB=9,CD=4,BD=10,請問在BD上是否存在P點,使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似?若存在,求BP的長;若不存在,請說明理由;
(2)若AB=9,CD=4,BD=12,請問在BD上存在多少個P點,使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似?并求BP的長;
(3)若AB=9,CD=4,BD=15,請問在BD上存在多少個P點,使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似?并求BP的長;
(4)若AB=m,CD=n,BD=l,請問m,n,l滿足什么關(guān)系時,存在以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似的一個P點?兩個P點?三個P點?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知頂點為(﹣3,﹣6)的拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(﹣1,﹣4),則下列結(jié)論中錯誤的是( 。
A. b2>4ac
B. ax2+bx+c≥﹣6
C. 若點(﹣2,m),(﹣5,n)在拋物線上,則m>n
D. 關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的兩根為﹣5和﹣1
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(12分)如圖1,點O是正方形ABCD兩對角線的交點,分別延長OD到點G,OC到點E,使OG=2OD,OE=2OC,然后以OG、OE為鄰邊作正方形OEFG,連接AG,DE.
(1)求證:DE⊥AG;
(2)正方形ABCD固定,將正方形OEFG繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)α角(0°<α<360°)得到正方形OE′F′G′,如圖2.
①在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)∠OAG′是直角時,求α的度數(shù);
②若正方形ABCD的邊長為1,在旋轉(zhuǎn)過程中,求AF′長的最大值和此時α的度數(shù),直接寫出結(jié)果不必說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,OA,OB是⊙O的兩條半徑,OA⊥OB,C是半徑OB上的一動點,連接AC并延長交⊙O于D,過點D作直線交OB延長線于E,且DE=CE,已知OA=8.
(1)求證:ED是⊙O的切線;
(2)當(dāng)∠A=30°時,求CD的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1所示是一個用四根木條釘成的作圖工具,其中,,兩根木條的連接處是可以轉(zhuǎn)動的,幾名同學(xué)在一起討論這個工具的用途.
(1)小明發(fā)現(xiàn)用這個工具可以快速作出角平分線在下面的幾種用法中,能作出的平分線的有_______.(寫出所有正確的序號)
①是的平分線; ②是的平分線; ③是的平分線
(2)對于這個工具的其它用途,小蘭發(fā)現(xiàn)可以用它作線段的垂直平分線.
請結(jié)合圖2補(bǔ)全結(jié)論并給出證明.
已知:如圖2,,.
求證:________垂直平分__________.
(3)對于這個工具的其它用途,小紅認(rèn)為通過多次操作可以用它作平行線.你同意嗎?如果同意,請畫示意圖說明如何操作;如果不同意,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某新建火車站站前廣場需要綠化的面積為46000米2,施工隊在綠化了22000米2后,將每天的工作量增加為原來的1.5倍,結(jié)果提前4天完成了該項綠化工程.
(1)該項綠化工程原計劃每天完成多少米2?
(2)該項綠化工程中有一塊長為20米,寬為8米的矩形空地,計劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地,它們的面積之和為56米2,兩塊綠地之間及周邊留有寬度相等的人行通道(如圖所示),問人行通道的寬度是多少米?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在等邊△ABC中,點D,E分別在邊BC,AC上,且DE∥AB,過點E作EF⊥DE,交BC的延長線于點F.
(1)求∠F的大小;
(2)若CD=3,求DF的長.
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