Question

已知，如圖，二次函數(shù)y=ax²+2ax﹣3a（a≠0）圖象的頂點為H，與x軸交于A、B兩點（B在A點右側(cè)），點H、B關(guān)于直線l：對稱．

（1）求A、B兩點坐標(biāo)，并證明點A在直線l上；

（2）求二次函數(shù)解析式；

（3）過點B作直線BK∥AH交直線l于K點，M、N分別為直線AH和直線l上的兩個動點，連接HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值．

Answer 1

       解：（1）依題意，得ax²+2ax﹣3a=0（a≠0），

兩邊都除以a得：

即x²+2x﹣3=0，

解得x₁=﹣3，x₂=1，

∵B點在A點右側(cè)，

∴A點坐標(biāo)為（﹣3，0），B點坐標(biāo)為（1，0），

答：A、B兩點坐標(biāo)分別是（﹣3，0），（1，0）．

證明：∵直線l：，

當(dāng)x=﹣3時，，

∴點A在直線l上．

（2）∵點H、B關(guān)于過A點的直線l：對稱，

∴AH=AB=4，

過頂點H作HC⊥AB交AB于C點，

則，，

∴頂點，

代入二次函數(shù)解析式，解得，

∴二次函數(shù)解析式為，

答：二次函數(shù)解析式為．

（3）直線AH的解析式為，

直線BK的解析式為，

由，

解得，

即，

則BK=4，

∵點H、B關(guān)于直線AK對稱，K（3，2），

∴HN+MN的最小值是MB，

過K作KD⊥x軸于D，作點K關(guān)于直線AH的對稱點Q，連接QK，交直線AH于E，

則QM=MK，，AE⊥QK，

∴根據(jù)兩點之間線段最短得出BM+MK的最小值是BQ，即BQ的長是HN+NM+MK的最小值，

∵BK∥AH，

∴∠BKQ=∠HEQ=90°，

由勾股定理得QB===8，

∴HN+NM+MK的最小值為8，

答：HN+NM+MK和的最小值是8．