【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c的頂點為C(1,4),交x軸于點A(3,0),B兩點,交y軸于點D.
(1)求點B、點D的坐標(biāo),
(2)判斷△ACD的形狀,并求出△ACD的面積.
【答案】(1)B點坐標(biāo)為(﹣1,0),D點坐標(biāo)為(0,3);(2)△ACD是以AC為斜邊的直角三角形,面積為3.
【解析】
(1)由頂點坐標(biāo)和A點坐標(biāo),可求得拋物線的解析式,容易求出B、D的坐標(biāo);
(2)根據(jù)點的坐標(biāo),利用勾股定理可求得AD、AC、CD的長,可判斷△ACD的形狀.
解:(1)∵拋物線的頂點坐標(biāo)為(1,4),
∴可設(shè)拋物線解析式為y=a(x﹣1)2+4,
∵與x軸交于點A(3,0),
∴0=4a+4,解得a=﹣1,
∴拋物線解析式為y=﹣(x﹣1)2+4=﹣x2+2x+3,
令y=0,可得﹣x2+2x+3=0,解得x=﹣1或x=3,令x=0,可得y=3
∴B點坐標(biāo)為(﹣1,0),D點坐標(biāo)為(0,3);
(2)∵A(3,0),D(0,3),C(1,4),
∴AD==3,CD==,AC==2,
∴AD2+CD2=(3)2+()2=20=(2)2=AC2 ,
∴△ACD是以AC為斜邊的直角三角形,
∴S△ACD=ADCD=×3×=3.
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【題目】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,點D是AB的中點,DE⊥BC,垂足為點E,連接CD.
(1)如圖1,求DE與BC的數(shù)量關(guān)系;
(2)如圖2,若P是線段CB上一動點(點P不與點B、C重合),連接DP,將線段DP繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)60°,得到線段DF,∠PDF=60°連接BF,請猜想DE、BF、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
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【題目】已知關(guān)于x的方程kx2+(3k+1)x+3=0.
(1)求證:無論k取任何實數(shù)時,方程總有實數(shù)根;
(2)若二次函數(shù)y=kx2+(3k+1)x+3的圖象與x軸兩個交點的橫坐標(biāo)均為整數(shù),且k為正整數(shù),求k值;
(3)在(2)的條件下,設(shè)拋物線的頂點為M,直線y=-2x+9與y軸交于點C,與直線OM交于點D.現(xiàn)將拋物線平移,保持頂點在直線OD上.若平移的拋物線與射線CD(含端點C)只有一個公共點,求它的頂點橫坐標(biāo)的值或取值范圍.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,A(0,a)、B(﹣b,0),若b=+4,C點是B點關(guān)于y軸的對稱點.
(1)判斷△ABC的形狀并證明;
(2)P點在第一象限,且∠APC=135°,試探究關(guān)于PA、PB、PC三條線段的確定數(shù)量關(guān)系;
(3)E點在BC上,F為線段AE的中點,EF繞E點順時針旋轉(zhuǎn)60°得到EG,E點從B點沿BC運動到C點,求G點隨E點運動的路徑長.
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【題目】某產(chǎn)品每件成本28元,在試銷階段產(chǎn)品的日銷售量y(件)與每件產(chǎn)品的日銷售價x(元)之間的關(guān)系如圖中的折線所示.為維持市場物價平衡,最高售價不得高出83元.
(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)要使每日的銷售利潤w最大,每件產(chǎn)品的日銷售價應(yīng)定為多少元?此時每日銷售利潤是多少元?
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的頂點A,B在反比例函數(shù)的圖象上,橫坐標(biāo)分別為1、3.5,AB=AC,BC與軸平行,若△ABC的面積為,則的值為( )
A. B. 5
C. D.
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【題目】為引導(dǎo)學(xué)生廣泛閱讀古今文學(xué)名著,某校開展了讀書活動.學(xué)生會隨機調(diào)查了部分學(xué)生平均每周閱讀時間的情況,整理并繪制了如下的統(tǒng)計圖表:
學(xué)生平均每周閱讀時間頻數(shù)分布表
平均每周閱讀時間x(時) | 頻數(shù) | 頻率 |
0≤x<2 | 10 | 0.025 |
2≤x<4 | 60 | 0.150 |
4≤x<6 | a | 0.200 |
6≤x<8 | 110 | b |
8≤x<10 | 100 | 0.250 |
10≤x≤12 | 40 | 0.100 |
合計 | 400 | 1.000 |
請根據(jù)以上信息,解答下列問題;
(1)在頻數(shù)分布表中,a=______,b=______;
(2)補全頻數(shù)分布直方圖;
(3)如果該校有1600名學(xué)生,請你估計該校平均每周閱讀時間不少于6小時的學(xué)生大約有多少人?
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【題目】某商場一種商品的進價為每件30元,售價為每件40元.每天可以銷售48件,為盡快減少庫存,商場決定降價促銷.
(1)若該商品連續(xù)兩次下調(diào)相同的百分率后售價降至每件32.4元,求兩次下降的百分率;
(2)經(jīng)調(diào)查,若每降價0.5元,每天可多銷售4件,那么每天要想獲得510元的利潤,每件應(yīng)降價多少元?
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