【題目】已知關(guān)于x的方程kx2+(3k+1)x+3=0.

(1)求證:無論k取任何實數(shù)時,方程總有實數(shù)根;

(2)若二次函數(shù)y=kx2+(3k+1)x+3的圖象與x軸兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù),且k為正整數(shù),求k值;

(3)在(2)的條件下,設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為M,直線y=-2x+9與y軸交于點(diǎn)C,與直線OM交于點(diǎn)D.現(xiàn)將拋物線平移,保持頂點(diǎn)在直線OD上.若平移的拋物線與射線CD(含端點(diǎn)C)只有一個公共點(diǎn),求它的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的值或取值范圍.

【答案】(1)見解析;(2)k=1;(3)見解析.

【解析】

(1)分k=0時,方程為一元一次方程,有解,k≠0時,表示出根的判別式,再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)判斷出≥0,得到一定有實數(shù)根;

(2)令y=0,解關(guān)于x一元二次方程,求出二次函數(shù)圖象與x軸的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是整數(shù)求出k值為1;

(3)先根據(jù)(2)中的k值寫出二次函數(shù)解析式并整理成頂點(diǎn)式形式,然后寫出點(diǎn)P的坐標(biāo),然后寫出直線OP的解析式,再根據(jù)平移的性質(zhì)設(shè)平移后的拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,h),然后寫出拋物線的頂點(diǎn)式形式為y=(x-h)2+h,再分①拋物線經(jīng)過點(diǎn)C時,然后把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線求出h的值,再根據(jù)函數(shù)圖象寫出h的取值范圍;②直線與拋物線只有一個交點(diǎn)時,聯(lián)立直線與拋物線解析式消掉未知數(shù)y,利用根的判別式=0列式求出h的值,然后求出交點(diǎn)坐標(biāo),從而得解.

(1)證明:①當(dāng)k=0時,方程為x+3=0,所以x=-3,方程有實數(shù)根,

②當(dāng)k≠0時,=(3k+1)2-4k3,

=9k2+6k+1-12k,

=9k2-6k+1,

=(3k-1)2≥0,

所以,方程有實數(shù)根,

綜上所述,無論k取任何實數(shù)時,方程總有實數(shù)根;

(2)令y=0,則kx2+(3k+1)x+3=0,

解關(guān)于x的一元二次方程,得x1=-3,x2=,

∵二次函數(shù)的圖象與x軸兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù),且k為正整數(shù),

k=1;

(3)由(2)得拋物線的解析式為y=x2+4x+3,

配方得y=(x+2)2-1,

∴拋物線的頂點(diǎn)M(-2,-1),

∴直線OD的解析式為y=x,

于是設(shè)平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,h),

∴平移后的拋物線解析式為y=(x-h)2+h,

①當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)C時,令x=0,則y=9,

C(0,9),

h2+h=9,

解得h=

∴當(dāng)≤h<時,平移后的拋物線與射線CD只有一個公共點(diǎn);

②當(dāng)拋物線與直線CD只有一個公共點(diǎn)時,

由方程組

消掉y得,x2+(-2h+2)x+h2+h-9=0,

∴△=(-2h+2)2-4(h2+h-9)=0,

解得h=4,

此時拋物線y=(x-4)2+2與射線CD唯一的公共點(diǎn)為(3,3),符合題意,

綜上所述:平移后的拋物線與射線CD只有一個公共點(diǎn)時,頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的值或取值范圍是h=4≤h<

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