Question

如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx+c圖象的對稱軸為直線x=-1，與x軸交于點（1，0）和（m，0），與y軸交于負半軸．則下列結論：
①m=-3，②abc＜0，③4a-2b+c＜0，④當x＜1時，y＜0，⑤8a+c＞0．
其中正確結論的個數(shù)是（　　）

• A、5個
• B、4個
• C、3個
• D、2個

Answer 1

考點：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系

專題：數(shù)形結合

分析：根據(jù)拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的交點坐標為（-3，0）和（1，0），則m=-3，且觀察函數(shù)圖象得到當-3＜x＜1時，y＜0，于是可對①④進行判斷；
由拋物線開口方向得a＞0，由拋物線的對稱軸為直線x=-

b

2a

=-1得到b=2a，則b＞0，由拋物線與y軸的交點位置得c＜0，所以abc＜0，于是可對②進行判斷；由于x=-2時，函數(shù)值小于0，則4a-2b+c＜0，于是可對③進行判斷；由于當x=2時，y＞0，則4a+2b+c＜0，然后把b=2a代入得到8a+c＞0，于是可對⑤進行判斷．

解答：解：∵對稱軸為直線x=-1，
∴點（1，0）和（m，0）關于直線x=-1對稱，
∴m=-3，所以①正確；
∵拋物線開口向上，
∴a＞0，
∵拋物線的對稱軸為直線x=-

b

2a

=-1，
∴b=2a，
∴b＞0，
∵拋物線與y軸的交點在x軸下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以②正確；
∵當x=-2時，y＜0，
∴4a-2b+c＜0，所以③正確；
∵拋物線與x軸的交點坐標為（-3，0）和（1，0），
∴當-3＜x＜1時，y＜0，所以④錯誤；
∵當x=2時，y＞0，
∴4a+2b+c＜0，
而b=2a，
∴4a+4a+c＞0，即8a+c＞0，所以⑤正確．
故選B．

點評：本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系：對于二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0），二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向：當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右；常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點：拋物線與y軸交于（0，c）；△決定拋物線與x軸交點個數(shù)：△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．