Question

已知：如圖，以Rt△ABC的邊AB為直徑作△ABC的外接圓O，∠B的平分線BE交AC于D，交⊙O于E，作EF∥AC交BA的延長線于F．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）求證：AE²=CD•EF；
（3）若AB=15，EF=10，求DC的長．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）要證EF是⊙O的切線，只要連接OE，再證∠FEO=90°即可；
（2）連接CE，可證明△FEA∽△ECD，得出

EF

EC

=

EA

CD

，即AE•EC=CD•EF，再由AE=CE，即可得出AE²=CD•EF；
（3）證明△FEA∽△FBA，得出AE，BF的比例關(guān)系式，勾股定理得出AE，BF的關(guān)系式，求出AE的長，即可得出CD的長．

解答：解：（1）證明：連接OE，
∵∠B的平分線BE交AC于D，
∴∠CBE=∠ABE．
∵EF∥AC，
∴∠CAE=∠FEA．
∵∠OBE=∠OEB，∠CBE=∠CAE，
∴∠FEA=∠OEB．
∵∠AEB=90°，
∴∠FEO=90°．
∴OE⊥EF，
∴EF是⊙O切線．

（2）連接CE，
∵∠B的平分線BE交AC于D，
∴AE=CE，
∵EF∥AC，
∴∠F=∠BAC，
∵∠FEA=∠OEB，∠OBE=∠ACE，
∴∠FEA=∠ECA，
∴△FEA∽△ECD，
∴

EF

EC

=

EA

CD

，
即AE•EC=CD•EF，
∴AE²=CD•EF；

（3）∵∠FEA=∠OEB，∠OBE=∠OEB，
∴∠FEA=∠EBA，
∴△AEF∽△EBF，
∴AE：BE=EF：BF=1：2，
∴AF•FB=EF•EF，
∴AF（AF+15）=10×10．
∴AF=5．
∴FB=20．
∵EF=10
∵AE²+BE²=15²，
∴AE=3

5

，
∴DC=

AE2

EF

=4.5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定以及相似三角形的判定和性質(zhì)，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．