【題目】如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),在BA邊上以每秒5cm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),在CB邊上以每秒4cm的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(0<t<2),連接PQ.
(1)若△BPQ與△ABC相似,求t的值;
(2)連接AQ,CP,若AQ⊥CP,求t的值;
(3)試證明:PQ的中點(diǎn)在△ABC的一條中位線上.
【答案】(1)t=1或時(shí),△BPQ與△ABC相似;(2)t=;(3)證明見解析.
【解析】試題分析:(1)分兩種情況討論:①當(dāng)△BPQ∽△BAC時(shí), ,當(dāng)△BPQ∽△BCA時(shí), ,再根據(jù)BP=5t,QC=4t,AB=10cm,BC=8cm,代入計(jì)算即可;
(2)過P作PM⊥BC于點(diǎn)M,AQ,CP交于點(diǎn)N,則有PB=5t,PM=3t,MC=8-4t,根據(jù)△ACQ∽△CMP,得出,代入計(jì)算即可;
(3)作PE⊥AC于點(diǎn)E,DF⊥AC于點(diǎn)F,先得出DF=,再把QC=4t,PE=8-CM=8-4t代入求出DF,過BC的中點(diǎn)R作直線平行于AC,得出RC=DF,D在過R的中位線上,從而證出PQ的中點(diǎn)在△ABC的一條中位線上.
試題解析:(1)∵AC=6cm,BC=8cm,
∴AB==10cm,
①當(dāng)△BPQ∽△BAC時(shí),
∵,BP=5t,QC=4t,AB=10cm,BC=8cm,
∴,
∴t=1;
②當(dāng)△BPQ∽△BCA時(shí),
∵,
∴,
∴t=,
∴t=1或時(shí),△BPQ與△ABC相似;
(2)如圖所示,過P作PM⊥BC于點(diǎn)M,AQ,CP交于點(diǎn)N,則有PB=5t,PM=PBsinB=3t,BM=4t,MC=8-4t,
∵∠NAC+∠NCA=90°,∠PCM+∠NCA=90°,
∴∠NAC=∠PCM且∠ACQ=∠PMC=90°,
∴△ACQ∽△CMP,
∴,
∴,
解得:t=;
(3)如圖,作PM⊥BC于點(diǎn)M,PQ的中點(diǎn)設(shè)為D點(diǎn),再作PE⊥AC于點(diǎn)E,DF⊥AC于點(diǎn)F,
∵∠ACB=90°,
∴DF為梯形PECQ的中位線,
∴DF=,
∵QC=4t,PE=8-BM=8-4t,
∴DF==4,
∵BC=8,過BC的中點(diǎn)R作直線平行于AC,
∴RC=DF=4成立,
∴D在過R的中位線上,
∴PQ的中點(diǎn)在△ABC的一條中位線上.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,點(diǎn)D是BC邊上的點(diǎn),CD=1,將△ABC沿直線AD翻折,使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)E處,若點(diǎn)P是直線AD上的動(dòng)點(diǎn),則△PEB的周長(zhǎng)的最小值是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】正比例函數(shù)y=(k+2)x,若y的值隨x的值的增大而減小,則k的值可能是( 。
A. 0B. 2C. -4D. -2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙、丙三位選手各10次射擊成績(jī)的平均數(shù)和方差統(tǒng)計(jì)如表:
選手 | 甲 | 乙 | 丙 |
平均數(shù) | 9.3 | 9.3 | 9.3 |
方差 | 0.026 | a | 0.032 |
已知乙是成績(jī)最穩(wěn)定的選手,且乙的10次射擊成績(jī)不都一樣,則a的值可能是( 。
A. 0B. 0.020C. 0.030D. 0.035
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△AOB是直角三角形,∠AOB=90°,OB=2OA,點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=的圖象上.若點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=的圖象上,則k的值為( )
A.-4 B.4 C.-2 D.2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),點(diǎn)E,F分別在線段AD及其延長(zhǎng)線上,且DE=DF.給出下列條件:
①BE⊥EC;②BF∥CE;③AB=AC;
從中選擇一個(gè)條件使四邊形BECF是菱形,你認(rèn)為這個(gè)條件是 (只填寫序號(hào)).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB分別是⊙O的直徑,AC是弦,DC是⊙O的切線,C為切點(diǎn),AD⊥DC于點(diǎn)D.
(1)已知∠ACD=a,求∠AOC的大小;
(2)求證:AC2=AB·AD.
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