Question

已知關(guān)于x，y的方程組

x2+my+4=0，    (1) x2-2xy-3y2=0，(2)

（1）把方程（2）化成兩個二元一次方程；
（2）設(shè)

x=k+2(k＞0) y=k (k＞0)

是原方程組的一個解，求k和m的值；
（3）若

x1=a y1=b

（ab＜0）與

x2=c y2=d

（cd＜0）是原方程組的兩個姐，且b²+d²=7m，求m的值．

Answer 1

考點：高次方程

專題：

分析：（1）只需將方程（2）中等號的左邊因式分解就可解決問題．
（2）易得x、y都是正數(shù)，從而將第（1）題中的兩個二元一次方程排除掉一個，然后把x=k+2，y=k代入剩下的一個二元一次方程中，就可求出k的值，從而得到x、y的值，再把x、y的值代入方程（1）就可求出m的值．
（3）由條件可知x與y異號，從而將第（1）題中的兩個二元一次方程排除掉一個，把剩下的一個二元一次方程中的x用y表示，然后代入方程（1）中，得到關(guān)于y的一元二次方程，然后運用根與系數(shù)的關(guān)系就可解決問題．

解答：解：（1）由x²-2xy-3y²=0得（x-3y）（x+y）=0．
∴x-3y=0或x+y=0．

（2）∵k＞0，x=k+2，y=k，
∴x＞0，y＞0．
∴x+y≠0．
∴x-3y=0．
∴k+2-3k=0．
∴k=1．
∴x=3，y=1．
把x=3，y=1代入方程（1）得：m=-13．
∴k的值為1，m的值為-13．

（3）由條件可得x₁y₁=ab＜0，x₂y₂=cd＜0，
∴x與y異號．
∴x-3y≠0．
∴x+y=0．
∴x=-y．
把x=-y代入方程（1）得：y²+my+4=0．
由題可得y²+my+4=0的兩根為b和d．
則有

m2-4×1×4≥0 b+d=-m bd=4

．
∵b²+d²=7m，
∴b²+d²=（b+d）²-2bd=（-m）²-2×4=7m．
整理得：m²-7m-8=0．
解得：m₁=8，m₂=-1．
當(dāng)m=8時，m²-4×1×4=48＞0，符合要求；
當(dāng)m=-1時，m²-4×1×4=-15＜0，不符合要求，故舍去．
∴m=8．

點評：本題考查了因式分解、根與系數(shù)的關(guān)系、解一元二次方程、完全平方公式、根的判別式等知識，還考查了配方法、換元法、因式分解法、判別式法等重要的數(shù)學(xué)方法，需要注意的是運用根與系數(shù)關(guān)系要考慮△=b²-4ac≥0這個前提條件．