Question

如圖，在△ABC中，若點P是∠ABC與∠ACB的外角平分線的交點．
（1）∠A=40°，則∠BPC=

 

；
（2）∠A=60°，則∠BPC=

 

；
（3）∠A=α，猜想∠BPC的大小，并證明你的猜想．

Answer 1

考點：三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質

專題：計算題

分析：先根據(jù)交平分線定義得到∠1=∠2，∠3=∠4，再利用三角形外角性質得∠BCP=∠A+∠ABC，即∠1+∠2=∠A+180°-∠3-∠4，變形為∠A=180°-2∠1-2∠3，接著根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠BPC=180°-∠1-∠3，利用等式的性質易得∠BPC=90°+

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∠A；
（1）把∠A=40°代入∠BPC=90°+

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∠A計算即可；
（2）把∠A=60°代入∠BPC=90°+

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2

∠A計算即可；
（3）把∠A=α代入∠BPC=90°+

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2

∠A即可．

解答：解：∵點P是∠ABC與∠ACB的外角平分線的交點，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠BCP=∠A+∠ABC，
∴∠1+∠2=∠A+180°-∠3-∠4
∴∠A=180°-2∠1-2∠3，
而∠BPC=180°-∠1-∠3，
∴2∠BPC-∠A=180°，
∴∠BPC=90°+

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∠A；
（1）當∠A=40°，∠BPC=90°+

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×40°=110°；
（2）當∠A=60°，∠BPC=90°+

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×60°=120°；
（3）當∠A=α，∠BPC=90°+

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2

α．
故答案為110°，120°．

點評：本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．也考查了三角形的外角性質．