Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C，D為⊙O上兩點(diǎn)，CF⊥A B于點(diǎn)F．CE⊥A D的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且CE=CF
（1）求證：CE是⊙O的切線．
（2）若AD=CD=

3

，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,平行四邊形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接OC．根據(jù)角平分線性質(zhì)定理的逆定理，得∠CAE=∠CAB．根據(jù)OC=OA，得到∠CAB=∠OCA，從而得到∠CAE=∠OCA，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩條直線平行，得到OC∥AE，從而根據(jù)切線的判定證明結(jié)論；
（2）根據(jù)AD=CD，得到∠DAC=∠DCA=∠CAB，從而DC∥AB，得到四邊形AOCD是平行四邊形．根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得OC=AD=6，則AB=12．根據(jù)∠CAE=∠CAB，得到弧CD=弧CB，則△OCB是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求得CF，再根據(jù)梯形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可．

解答：（1）證明：連接OC．
∵CF⊥AB，CE⊥AD，且CE=CF，
∴∠CAE=∠CAB．
∵OC=OA，
∴∠CAB=∠OCA，
∴∠CAE=∠OCA，
∴OC∥AE，
∴OC⊥CE，
又∵OC是⊙O的半徑，
∴CE是⊙O的切線；

（2）解：∵AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA=∠CAB，
∴DC∥AB．
∵∠CAE=∠OCA，
∴OC∥AD，
∴四邊形AOCD是平行四邊形．
∴OC=AD=

3

，AB=2

3

．
∵∠CAE=∠CAB，
∴弧CD=弧CB，
∴CD=CB=

3

，
∴△OCB是等邊三角形，
∴CF=

3

2

，
∴S_{四邊形ABCD}=

(CD+AB)•CF

2

=

9 3

4

．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合運(yùn)用了切線的判定、角平分線性質(zhì)定理的逆定理、平行線的判定和性質(zhì)、圓周角定理的推論、等邊三角形的判定和性質(zhì)，是一道綜合性較強(qiáng)的題目．