Question

 (1)觀察發(fā)現(xiàn)．

如圖6­1­24(1)：若點(diǎn)A，B在直線m的同側(cè)，在直線m上找一點(diǎn)P，使AP＋BP的值最小，做法如下：作點(diǎn)B關(guān)于直線m的對稱點(diǎn)B′，連接AB′，與直線m的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，線段AB′的長度即為AP＋BP的最小值．

如圖6­1­24(2)：在等邊三角形ABC中，AB＝2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AD是高，在AD上找一點(diǎn)P，使BP＋PE的值最小，做法如下：作點(diǎn)B關(guān)于AD的對稱點(diǎn)，恰好與點(diǎn)C重合，連接CE交AD于一點(diǎn)．則這就是所求的點(diǎn)P，故BP＋PE的最小值為__________________．

　　　　　　　　　

圖6­1­24

(2)實(shí)踐運(yùn)用．

如圖6­1­24(3)：已知⊙O的直徑CD為2，的度數(shù)為60°，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，在直徑CD上作出點(diǎn)P，使BP＋AP的值最小，則BP＋AP的最小值為________________．

(3)拓展延伸．

如圖6­1­24(4)：點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，分別在邊AB，BC上作出點(diǎn)M，N，使PM＋PN的值最小，保留作圖痕跡，不寫作法．

Answer 1

解：(1)

(2)　解析：如圖39，作B點(diǎn)關(guān)于CD的對稱點(diǎn)E，連接AE，交CD于點(diǎn)P，連接OA，OB，OE，PA，PB，∵的度數(shù)為60°，且點(diǎn)B是的中點(diǎn)，∴∠BOC＝∠AOB＝30°.∵點(diǎn)B與點(diǎn)E關(guān)于CD對稱，∴∠COE＝∠BOC＝30°.∴∠AOE＝3×30°＝90°.∵⊙O的直徑CD為2，∴OA＝OE＝1.在Rt△AOE中，AE＝＝＝.∴BP＋AP＝EP＋AP＝AE＝.

(3)如圖40.    

圖39            　　　圖40