Question

如圖，在平面直角坐標系內，以直線x=1為對稱軸的拋物線y=ax²+bx-3與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，點A的坐標為（-1，0）．
（1）求該拋物線解析式；
（2）設該拋物線的頂點為D，連接線段BC、BD、CD，求△BCD的面積；
（3）將該拋物線向上平移，使平移后的拋物線經過原點O，且與x軸的另一個交點為E．若在y軸上存在一點F，連接DF、EF，使四邊形BDFE的周長最小，求此最小值．

Answer 1

考點：二次函數綜合題

專題：

分析：（1）由在平面直角坐標系內，以直線x=1為對稱軸的拋物線y=ax²+bx-3與x軸相交于A、B兩點，點A的坐標為（-1，0），可得方程組：

- b 2a =1 a-b-3=0

，解此方程組即可求得答案；
（2）首先求得點B，C，D的坐標，然后由S_△BCD=S_△BDM+S_梯形OCDM-S_△OBC，即可求得答案；
（3）首先可求得BD，BE的長，然后確定縣F的位置，繼而求得答案．

解答：解：（1）∵在平面直角坐標系內，以直線x=1為對稱軸的拋物線y=ax²+bx-3與x軸相交于A、B兩點，點A的坐標為（-1，0），
∴

- b 2a =1 a-b-3=0

，
解得：

a=1 b=-2

，
∴該拋物線解析式為：y=x²-2x-3；

（2）∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∵點D的坐標為：（1，-4），
∵令x=0，則y=-3，
∴C（0，-3），
點B與A關于直線x=1對稱，
∴點B（3，0），
設直線x=1交x軸于點M，
∴OM=1，BM=3-1=2，DM=4，
∴S_△BCD=S_△BDM+S_梯形OCDM-S_△OBC=

1

2

×2×4+

1

2

×（3+4）×1-

1

2

×3×3=3；

（3）設平移后的拋物線為：y=x²-2x-3+k，
∵此拋物線過原點，
∴k=3，
∴平移后的解析式為：y=x²-2x，
∴點E（2，0），
∵四邊形BDFE的周長為：BD+BE+DF+EF，
其中，BD=

(3-1)2+42

=2

5

，BE=3-2=1，
∴要使得四邊形BDFE的周長最小，只需要DF+EF取得最小值，
如圖，點E關于y軸的對稱點E′（-2，0），連接DE′，交y軸于點F，此時DF+EF最小，
∴DF+EF=DE′=

(1+2)2+42

=5，
∴四邊形BDFE的周長的最小值為：2

5

+1+5=6+2

5

．

點評：此題考查了待定系數法求二次函數的解析式、二次函數的性質、二次函數的平移以及周長最短問題．此題難度較大，綜合性較強，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想與方程思想的應用．