Question

已知：如圖，點C是等腰直角△ABC的直角頂點，DC∥AB，BD=AB，BD交AC于點E，CF⊥AB，垂足為F，求證：
（1）∠ABD=30°；
（2）AD=AE．

Answer 1

考點：等腰直角三角形,平行線之間的距離,等腰三角形的判定與性質(zhì),含30度角的直角三角形

專題：證明題

分析：（1）過D作DG垂直于AB，由AB與CD平行，利用平行線間的距離相等得到DG=CF，由CF垂直于AB，且三角形ABC為等腰直角三角形得到CF為斜邊AB上的中線，得到AB=2CF，即DB=2DG，即可得證；
（2）由∠AED為三角形AEB外角，求出∠AED=75°，再由三角形ABD為頂角為30°的等腰三角形，求出∠ADE=75°，利用等角對等邊即可得證．

解答：證明：（1）過D作DG⊥AB，交AB于點G，
∵DC∥AB，
∴DG=CF，
∵△ABC為等腰直角三角形，且CF⊥AB，
∴CF為斜邊AB上的中線，
∴CF=

1

2

AB，
∵AB=BD，
∴DG=

1

2

BD，
則在Rt△BDG中，∠ABD=30°；

（2）∵∠AED為△AEB的外角，且∠EAB=45°，∠DBG=30°，
∴∠AED=∠EAB+∠DBG=75°，
∵AB=DB，
∴∠BDA=∠BAD=

180°-30°

2

=75°，
∴∠ADE=∠AED，
∴AE=AD．

點評：此題考查了等腰直角三角形，平行線間的距離，含30度直角三角形的性質(zhì)，以及等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．