Question

【題目】如圖，在中，，取的中點，連接，點關于線段的對稱點為點，點為線段上的一個動點，連接、、、，已知，，，，當的值最小時，則的值為（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

設點M和點B關于AC對稱，F為EM與AC交點，過點E作EG⊥AC于G，過點E作EN⊥BC，交BC延長線于點N，根據題意得出當EF+BF最小時點F的位置，再通過平行線的性質得到∠EAG=∠BDC，從而求出EG的長，再判定四邊形EGCN為矩形，得到CN，最后利用△MFC∽MEN將轉化為求值即可.

解：當EF+BF最小時，如圖，點M和點B關于AC對稱，F為EM與AC交點，過點E作EG⊥AC于G，過點E作EN⊥BC，交BC延長線于點N，

此時EF+BF的最小值即為EF+FM，即EM，

∵AC=，點D為AC中點，BC=2，

∴AD=CD=，

∴tan∠BDC=，

∵AE∥BD，

∴∠EAG=∠BDC，

∴tan∠EAG==，設EG=x，

∴AG=x，而AE=，

在△AEG中，，

解之得：x=或（舍），

由題意可得：∠N=∠ACB=∠EGC=90°，

∴四邊形EGCN為矩形，

∴EG=NC=，

∵AC⊥BC，EN⊥BC，

∴AC∥EN，

∴△MFC∽MEN，

∴，則，

故選C.