Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分線，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，連接DO并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使OE=OD，連接AE，BE．
（1）求證：四邊形AEBD是矩形；
（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，矩形AEBD是正方形，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，連接DO并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使OE=OD，

∴四邊形AEBD是平行四邊形，

∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分線，

∴AD⊥BC，

∴∠ADB=90°，

∴平行四邊形AEBD是矩形；

（2）當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，

理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是∠BAC的角平分線，

∴AD=BD=CD，

∵由（1）得四邊形AEBD是矩形，

∴矩形AEBD是正方形．

【解析】（1）利用平行四邊形的判定首先得出四邊形AEBD是平行四邊形，進(jìn)而由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ADB=90°，即可得出答案；（2）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出AD=BD=CD，進(jìn)而利用正方形的判定得出即可．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用矩形的判定方法和正方形的判定方法的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形；有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；兩條對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；先判定一個(gè)四邊形是矩形，再判定出有一組鄰邊相等；先判定一個(gè)四邊形是菱形，再判定出有一個(gè)角是直角．