Question

如圖，要從一張等腰直角三角形GEF彩紙上裁出一張長方形彩紙ABCD，要求長方形彩紙ABCD的各頂點都在等腰直角三角形GEF的邊上，已知GE=GF=20cm，記長方形彩紙ABCD的面積為S．

（1）當S=75cm²，求出長方形彩紙的長和寬．
（2）當S最大時，請畫出圖形，并求出S的最大值以及此時對應的長方形彩紙的長和寬．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),二次函數(shù)的最值,等腰直角三角形,矩形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）①當長方形一邊在EF上時；②當長方形的一邊在EG上時；列出方程，求出長方形的長與寬．
（2）運用二次函數(shù)的最值分別求出長方形的最大值，并求出長與寬．

解答：解：（1）①如圖1，

設(shè)AB=x，
∵△GEF是等腰直角三角形，GE=GF=20cm，
∴BC=20

2

-2x，
∴x（20

2

-2x）=75，
解得：x₁=

5

2

2

，x₂=

15

2

2

∴長方形彩紙的長為15

2

寬

5 2

2

或長為

15 2

2

寬為5

2

．
②如圖2，

設(shè)AB=x，則x（20-x）=75
解得：x₁=5，x₂=15
所以長方形的長是15，寬是5．
（2）按圖1，

S=-2x²+20

2

x=-2（x-5

2

）²+100
S最大=100，此時長方形的長是10

2

，寬是5

2

；
按圖2，

S=-x²+20x=-（x-10）²+100
S最大=100，此時長方形的長是10，寬是10．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)的最值，等腰直角三角形和矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作長方形時要分兩種情況．