Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，弦BC長(zhǎng)為，弦AC長(zhǎng)為2，∠ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)D，

（1）求AD的長(zhǎng)．

（2）求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角，可得出∠ACB=∠ADB=90°，由勾股定理求出直徑的長(zhǎng)，再根據(jù)在同圓或等圓中相等的圓周角所對(duì)弧相等，并由弧、弦之間的關(guān)系可得出其所對(duì)的弦也相等，進(jìn)而得到三角形ABD是等腰直角三角形，由勾股定理可求出AD的長(zhǎng)；（2）過角平分線上的點(diǎn)D向兩角兩邊分別作垂線，即可得到兩個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)正方形，再根據(jù)正方形的性質(zhì)即可求出CD的長(zhǎng)。

解：（1）∵AB是直徑，

∴∠ACB=∠ADB=90°，

在Rt△ABC中，

∴

∵∠ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)D，

∴∠DCA=∠BCD，

∴AD=DB，

∴AD=BD，

（2）過點(diǎn)D分別作DM⊥CA于M，DN⊥CB于N，

可證DM=DN，

再證Rt△DAM≌Rt△DBN，

得AM=BN，

易證正方形DMCB，

故CM=CN，

設(shè)AM=x，則，，

∴