Question

已知關(guān)于x的方程x²+px+q+1=0有一個(gè)實(shí)數(shù)根2．
（1）用含p的代數(shù)式表示q；
（2）求證：拋物線y=x²+px+q與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn),一元二次方程的解

專題：

分析：（1）把x=2代入關(guān)于x的方程x²+px+q+1=0，然后用含p的代數(shù)式表示q；
（2）令x²+px+q=0，通過該關(guān)于x的方程的根的判別式的符號(hào)進(jìn)行證明．

解答：（1）解：∵關(guān)于x的方程x²+px+q+1=0有一個(gè)實(shí)數(shù)根2，
∴2²+2p+q+1=0，
∴q=-5-2p；

（2）證明：令x²+px+q=0．
∵根的判別式△=p²-4q=p²-4（-5-2p）=（p+4）²+4＞0，
∴關(guān)于x的一元二次方程x²+px+q=0有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即拋物線y=x²+px+q與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，一元二次方程的解的定義．二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點(diǎn)與一元二次方程ax²+bx+c=0根之間的關(guān)系．
△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
△=b²-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；
△=b²-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；
△=b²-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．