Question

如圖，直線y=ax+b與雙曲線y=

k

x

有一個(gè)交點(diǎn)A（1，2）且與x軸、y軸分別交于B，C兩點(diǎn)，已知△AOB的面積為3．
（1）求雙曲線和直線的解析式；
（2）在x軸上是否存在一點(diǎn)P，使△ABP是等腰三角形？如果存在，直接寫出滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)雙曲線y=

k

x

過(guò)點(diǎn)A（1，2），利用待定系數(shù)法，可得雙曲線解析式，根據(jù)△AOB的面積為3，可得B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)直線過(guò)A、B兩點(diǎn)，利用待定系數(shù)法，可得直線解析式；
（2）根據(jù)兩邊相等的三角形是等腰三角形，分類討論，AB=AP，AB=BP，AP=BP，可得答案．

解答：解：（1）∵雙曲線y=

k

x

過(guò)點(diǎn)A（1，2），
∴2=

k

1

，k=2，
雙曲線的解析式是y=

2

x

，
∵△AOB的面積為3，底是OB的長(zhǎng)，高是A點(diǎn)的縱坐標(biāo)，

1

2

×2×OB=3，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)是（3，0），
∵直線y=ax+b過(guò)點(diǎn)A、B，
∴2=a+b ①，0=3a+b②，
②-①得
a=-1，b=3，
∴一次函數(shù)的解析式是y=-x+3；
（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0），AB=

(3-1)2+(0-2)2

=2

2

，
當(dāng)AP=PB時(shí)，

(x-1)2+(0-2)2

=2

2

，
x=3（不合題意，舍）或x=-1，
P點(diǎn)坐標(biāo)（-1，0），
當(dāng)AB=BP時(shí)，PB=2

2

，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（3-2

2

，0）或（3+2

2

，0），
當(dāng)AP=BP時(shí)，

(x-1)2+(0-3)2

=

(x-3)2

，
x=

1

4

，
P點(diǎn)坐標(biāo)是（

1

4

，0）．
故P（-1，0），（3-2

2

，0），（3+2

2

，0），（

1

4

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題，（1）利用待定系數(shù)法求解是解題關(guān)鍵；（2）分類討論是解題關(guān)鍵．