【題目】如圖,等腰三角形ABC中,BD,CE分別是兩腰上的中線.

(1)求證:BD=CE;

(2)設BDCE相交于點O,點M,N分別為線段BOCO的中點,當ABC的重心到頂點A的距離與底邊長相等時,判斷四邊形DEMN的形狀,無需說明理由.

【答案】(1)證明見解析;(2)四邊形DEMN是正方形,證明見解析.

【解析】分析:(1)根據(jù)已知條件得到AD=AE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結論;
(2)根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到EDBC,ED=BC,MNBC,MN=BC,等量代換得到EDMN,ED=MN,推出四邊形EDNM是平行四邊形,由(1)知BD=CE,求得DM=EN,得到四邊形EDNM是矩形,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OB=OC,由三角形的重心的性質(zhì)得到OBC的距離=BC,根據(jù)直角三角形的判定得到BDCE,于是得到結論.

詳解

(1)解:由題意得,AB=AC,

BD,CE分別是兩腰上的中線,

AD=AC,AE=AB,

AD=AE,

ABDACE

,

∴△ABD≌△ACE(ASA).

BD=CE;

(2)四邊形DEMN是正方形,

證明:∵E、D分別是AB、AC的中點,

AE=AB,AD=AC,EDABC的中位線,

EDBC,ED=BC,

∵點M、N分別為線段BOCO中點,

OM=BM,ON=CN,MNOBC的中位線,

MNBC,MN=BC,

EDMN,ED=MN,

∴四邊形EDNM是平行四邊形,

由(1)知BD=CE,

又∵OE=ON,OD=OM,OM=BM,ON=CN,

DM=EN,

∴四邊形EDNM是矩形,

BDCCEB中,,

∴△BDC≌△CEB,

∴∠BCE=CBD,

OB=OC,

∵△ABC的重心到頂點A的距離與底邊長相等,

OBC的距離=BC,

BDCE,

∴四邊形DEMN是正方形.

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