Question

正方形和圓都是人們比較喜歡的圖形，給人以美得感受．我校數(shù)學(xué)興趣小組在研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)：
（1）在如圖1中研究以AB為直徑的半圓中，裁剪出面積最大的正方形CDEF時驚喜地發(fā)現(xiàn)，點C和F其實分別是線段AF和BC的黃金分割點！如果設(shè)圓的半徑為r，此時正方形的邊長a₁=

 

，tan∠ABD=

 

．
（2）如果在半徑為r的半圓中裁剪出兩個同樣大小且分別面積最大的正方形的邊長a₂=

 

，如圖3并列n個正方形時的邊長a_n=

 

．
（3）當(dāng)n=9時，我們還可以在第一層的上面再裁剪出同樣大小的正方形，也可以再在第二層的上面再裁剪出第三層同樣大小的正方形，問最多可以裁剪到第幾層？

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)直角三角形的射影定理可以求得邊長a₁，再利用tan∠ABD=

CD

BC

求出即可；
（2）根據(jù)直角三角形的射影定理可以求得邊長a₂，進(jìn)而得出邊長a_n；
（3）通過觀察排列的規(guī)律即可判斷．

解答：解：（1）由于點C和點F其實分別是線段AF和的BC黃金分割點．
所以a₁²=（r+

a1

2

）（r-

a1

2

），
解得：a₁=

2 5

5

r；
tan∠ABD=

CD

BC

=

2 5 5 r

r+ 5 5 r

=

5 -1

2

，
故答案為：

2 5

5

r，

5 -1

2

；

（2）根據(jù)題意得：a₂²=（r+a₂）（r-a₂），
解得a₂=

2

2

r；

a

2 n

=（r+

1

n

a_n）（r-

1

n

a_n），
解得a_n=（2

1 4+n2

）r；
故答案為：

2

2

r，（2

1 4+n2

）r；

（3）當(dāng)n=9時，我們還可以在第一層的上面再裁剪出同樣大小7個正方形，
再在第二層的上面再裁剪出第三層同樣大小5正方形，依此類推，4層是3個，5層1個；
所以最多可以裁剪到第5層．

點評：本題考查了直角三角形的射影定理的運(yùn)用、圓的圓周角定理和銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識，利用射影定理得出是解題關(guān)鍵．