Question

（本小題滿分12分）如圖，開口向下頂點為D的拋物線經(jīng)過點A（0， 5），B（－1，0），C（5，0）與x軸交于B、C兩點（B在C左側(cè)），點A和點E關(guān)于拋物線對稱軸對稱．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）經(jīng)過原點O和點E的直線與拋物線的另一個交點為F.

①求點F的坐標；

②求四邊形ADEF的面積；

（3）若M為拋物線上一動點，N為拋物線對稱軸上一動點，是否存在M，N，使得以A、E、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形，若存在，求出所有滿足條件的M、N的坐標；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（1）；（2）①F（，）；②；（3）M1（﹣2，﹣7），M2（6，﹣7），M3（2，9）N1（2，﹣7），N2（2，﹣7），N3（2，1）．

【解析】

試題分析：（1）可將拋物線的解析式設(shè)成交點式，然后用待定系數(shù)法就可求出拋物線的解析式．

（2）①可先求出直線OE的解析式，然后將直線OE與拋物線的解析式聯(lián)立，組成方程組，解這個方程組就可得到點F的坐標；

②只需運用割補法就可求出四邊形ADEF的面積．

（3）可分AE是平行四邊形的對角線和一邊這兩種情況討論，然后利用平行四邊形的性質(zhì)就可解決問題．

試題解析：（1）如圖1，

由于拋物線經(jīng)過點B（﹣1，0），C（5，0），

因此該拋物線解析式可設(shè)為，把A（0，5）代入，得，

解得：，∴；

（2）①如圖2，

∵拋物線的對稱軸，點A（0，5）和點E關(guān)于拋物線對稱軸對稱，∴點E的坐標為（4，5），∴直線OE的解析式為，解方程組，得，或，

∴點F坐標為（，）；

②∵，∴拋物線的頂點D的坐標為（2，9），

∴S四邊形ADEF=S△ADE+S△AEF=×4×（9﹣5）+×4×（5+）=；

（3）①若AE是平行四邊形的對角線，如圖3①，

則點M在對稱軸上，即在頂點D處，此時點M的坐標（2，9），點N的坐標為（2，1）；

②若AE是平行四邊形的一邊，如圖3①，

則有MN=AE=4，∴點M的橫坐標為﹣2或6．

Ⅰ．當x=﹣2時，y=﹣（﹣2）2+4×（﹣2）+5=﹣7，

此時點M的坐標為（﹣2，﹣7），點N的坐標為（2，﹣7）；

Ⅱ．當x=6時，y=﹣62+4×6+5=﹣7，

此時點M的坐標為（6，﹣7），點N的坐標為（2，﹣7）．

綜上所述：符合要求的點M、N的坐標為

M1（﹣2，﹣7），M2（6，﹣7），M3（2，9）N1（2，﹣7），N2（2，﹣7），N3（2，1）．

考點：二次函數(shù)綜合題．