Question

（本小題滿分12分）如圖，開(kāi)口向下頂點(diǎn)為D的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0， 5），B（－1，0），C（5，0）與x軸交于B、C兩點(diǎn)（B在C左側(cè)），點(diǎn)A和點(diǎn)E關(guān)于拋物線對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O和點(diǎn)E的直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為F.

①求點(diǎn)F的坐標(biāo)；

②求四邊形ADEF的面積；

（3）若M為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，N為拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在M，N，使得以A、E、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，若存在，求出所有滿足條件的M、N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

（1）；（2）①F（，）；②；（3）M1（﹣2，﹣7），M2（6，﹣7），M3（2，9）N1（2，﹣7），N2（2，﹣7），N3（2，1）．

【解析】

試題分析：（1）可將拋物線的解析式設(shè)成交點(diǎn)式，然后用待定系數(shù)法就可求出拋物線的解析式．

（2）①可先求出直線OE的解析式，然后將直線OE與拋物線的解析式聯(lián)立，組成方程組，解這個(gè)方程組就可得到點(diǎn)F的坐標(biāo)；

②只需運(yùn)用割補(bǔ)法就可求出四邊形ADEF的面積．

（3）可分AE是平行四邊形的對(duì)角線和一邊這兩種情況討論，然后利用平行四邊形的性質(zhì)就可解決問(wèn)題．

試題解析：（1）如圖1，

由于拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（﹣1，0），C（5，0），

因此該拋物線解析式可設(shè)為，把A（0，5）代入，得，

解得：，∴；

（2）①如圖2，

∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，點(diǎn)A（0，5）和點(diǎn)E關(guān)于拋物線對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，5），∴直線OE的解析式為，解方程組，得，或，

∴點(diǎn)F坐標(biāo)為（，）；

②∵，∴拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，9），

∴S四邊形ADEF=S△ADE+S△AEF=×4×（9﹣5）+×4×（5+）=；

（3）①若AE是平行四邊形的對(duì)角線，如圖3①，

則點(diǎn)M在對(duì)稱(chēng)軸上，即在頂點(diǎn)D處，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)（2，9），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，1）；

②若AE是平行四邊形的一邊，如圖3①，

則有MN=AE=4，∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為﹣2或6．

Ⅰ．當(dāng)x=﹣2時(shí)，y=﹣（﹣2）2+4×（﹣2）+5=﹣7，

此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣2，﹣7），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，﹣7）；

Ⅱ．當(dāng)x=6時(shí)，y=﹣62+4×6+5=﹣7，

此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（6，﹣7），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，﹣7）．

綜上所述：符合要求的點(diǎn)M、N的坐標(biāo)為

M1（﹣2，﹣7），M2（6，﹣7），M3（2，9）N1（2，﹣7），N2（2，﹣7），N3（2，1）．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．