Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，且∠AFE=∠B．

（1）求證：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=4，AD= ，AE=3，求AF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADF=∠CED，∠B+∠C=180°；

∵∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C，
∴△ADF∽△DEC

（2）解：∵CD=AB=4，AE⊥BC，
∴AE⊥AD； 在Rt△ADE中，DE= ，

∵△ADF∽△DEC，
∴ ；
∴ ，
解得AF=

【解析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證出AD∥BC，AB∥CD，結(jié)合已知∠AFE=∠B．得出∠ADF=∠CED，∠AFD=∠C再根據(jù)兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似證得結(jié)論。
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及已知AE⊥BC，證明△ADE是直角三角形，利用勾股定理求出DE的長(zhǎng)，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)（△ADF∽△DEC）。得對(duì)應(yīng)線段成比例，建立方程求出AF的長(zhǎng)。