Question

【題目】 (1)、問題：如圖1，在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，∠DPC=∠A=∠B=90°．求證：AD·BC=AP·BP．

(2)、探究：如圖2，在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，當(dāng)∠DPC=∠A=∠B=θ時，上述結(jié)論是否依然成立？說明理由．

(3)、應(yīng)用：請利用（1）（2）獲得的經(jīng)驗解決問題：

如圖3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5．點P以每秒1個單位長度的速度，由點A 出發(fā)，沿邊AB向點B運動，且滿足∠DPC=∠A．設(shè)點P的運動時間為t（秒），當(dāng)DC的長與△ABD底邊上的高相等時，求t的值．

Answer 1

【答案】(1)、證明過程見解析；(2)、證明過程見解析；(3)、t=1秒或5秒.

【解析】

試題分析：(1)、根據(jù)∠DPC=∠A=∠B=90°得出∠ADP+∠APD=∠BPC+∠APD=90°，則∠ADP=∠BPC，從而得出△ADP和△BPC相似，從而得出答案；(2)、根據(jù)同樣的證明方法得出三角形相似，從而得出答案；(3)、過點D作DE⊥AB于點E，則AE=BE=3，根據(jù)勾股定理得出DE=4，設(shè)AP=t，則BP=6－t，根據(jù)(1)(2)的定理列出關(guān)于t的方程，從而求出t的值.

試題解析：(1)、如圖1 ∵∠DPC=∠A=∠B=90°，∴∠ADP+∠APD=90°，

∠BPC+∠APD=90°，∴∠ADP =∠BPC ∴△ADP∽△BPC．∴即AD·BC=AP·BP．

(2)、結(jié)論AD·BC=AP·BP 仍成立．

理由：如圖2，∵∠BPD=∠DPC+∠BPC． 又∵∠BPD=∠A+∠ADP．∴∠DPC+∠BPC =∠A+∠ADP．

∵∠DPC =∠A=θ．∴∠BPC =∠ADP 又∵∠A=∠B=θ．∴△ADP∽△BPC．∴

∴AD·BC=AP·BP．

(3)、如圖3，過點D作DE⊥AB于點E．∵AD=BD=5，AB=6． ∴AE=BE=3．由勾股定理得DE=4．

∴DC=DE=4．∴BC=5-4=1，又∵AD=BD，∴∠A=∠B．由已知，∠DPC =∠A，∴∠DPC =∠A=∠B．

由（1）、（2）可得：AD·BC=AP·BP． 又AP=t，BP=6-t，∴t（6-t）=5×1．

解得t1=1，t2=5． ∴t的值為1秒或5秒．