【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等邊三角形,BD=2AD=8,AB=4
(Ⅰ)證明:平面PBD⊥平面PAD;
(Ⅱ)求二面角B﹣PA﹣D的余弦值.

【答案】解:證明:(Ⅰ)在△ABD中,∵AD=4,BD=8,AB=4 , ∴AD2+BD2=AB2 , 故AD⊥BD.
又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,
BD平面ABCD,∴BD⊥平面PAD,
又BD平面PBD,
故平面PBD⊥平面PAD.
(II)解:以D為原點,DA為x軸,DB為y軸,過D作平面ABCD的垂線為z軸,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,

則D(0,0,0),A(4,0,0),P(2,0,2 ),B(0,8,0),
, =(﹣4,8,0).
設(shè)平面PAB的法向量 =(x,y,z),
,
,則
平面PAD的一個法向量為 ,

則二面角B﹣PA﹣D的余弦值為
【解析】(Ⅰ)推導(dǎo)出AD⊥BD,從而BD⊥平面PAD,由此能證明平面PBD⊥平面PAD.(II)以D為原點,DA為x軸,DB為y軸,過D作平面ABCD的垂線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角B﹣PA﹣D的余弦值.
【考點精析】利用平面與平面垂直的判定對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直.

練習(xí)冊系列答案
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C.(3,
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B.
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A.4.5
B.6
C.7.5
D.9

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