Question

【題目】已如拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝mx+n相交于兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（0，﹣）和（m﹣b，m2﹣mb+n），其中a，b，c，m，n為實(shí)數(shù)，且a，m不為0．

（1）求c的值；

（2）求證：拋物線y＝ax2+bx+c與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；

（3）當(dāng)﹣1≤x≤1時(shí)，設(shè)拋物線y＝ax2+bx+c與x軸距離最大的點(diǎn)為P（x0，y0），求這時(shí)|y0|的最小值．

Answer 1

【答案】（1）c＝；（2）見(jiàn)解析；（3）當(dāng)b＝0，x0＝0時(shí)，這時(shí)|yo|取最小值，為|yo|＝

【解析】

（1）將（0，）代入拋物線y=ax2+bx+c中即可；

（2）先求n的值，再將點(diǎn)的坐標(biāo)（m-b，m2-mb+n）代入y=ax2+bx+c中，計(jì)算△＞0即可；

（3）先根據(jù)公式分別求拋物線的對(duì)稱(chēng)軸和最小值，分四種情況進(jìn)行討論：

①當(dāng)＜-1，即b＞2時(shí)，如圖1，在x軸上方與x軸距離最大的點(diǎn)是（1，yo），在x軸下方與x軸距離最大的點(diǎn)是（-1，yo），代入拋物線的解析式中分別求|H|和|h|，作判斷即可；

②當(dāng)-1≤≤0，即0≤b≤2時(shí)，如圖2，

③當(dāng)0＜≤1，即-2≤b＜0時(shí)，如圖3，

④當(dāng)1＜，即b＜-2時(shí)，如圖4，

根據(jù)圖象分別求其y0的取值范圍，可得結(jié)論．

解：（1）∵（0，）在y＝ax2+bx+c上，

∴＝a×02+b×0+c，

∴c＝；

（2）又可得 n＝，

∵點(diǎn)（m﹣b，m2﹣mb+n）在y＝ax2+bx+c上，

∴m2﹣mb＝a（m﹣b）2+b（m﹣b），

∴（a﹣1）（m﹣b）2＝0，

若（m﹣b）＝0，則（m﹣b，m2﹣mb+n）與（0，）重合，與題意不合，

∴a＝1，

∴拋物線y＝ax2+bx+c，就是y＝x2+bx﹣，

△＝b2﹣4ac＝b2﹣4×（）＝b2+2＞0，

∴拋物線y＝ax2+bx+c與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；

（3）拋物線y＝x2+bx的對(duì)稱(chēng)軸為，最小值為，

設(shè)拋物線y＝x2+bx在x軸上方與x軸距離最大的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為H，在x軸下方與x軸距離最大的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為h，

①當(dāng)＜﹣1，即b＞2時(shí)，如圖1，在x軸上方與x軸距離最大的點(diǎn)是（1，yo），

∴|H|＝yo＝+b＞，

在x軸下方與x軸距離最大的點(diǎn)是（﹣1，yo），

∴|h|＝|yo|＝|﹣b|＝b﹣＞，

∴|H|＞|h|，

∴這時(shí)|yo|的最小值大于；

②當(dāng)﹣1≤≤0，即0≤b≤2時(shí)，如圖2，在x軸上方與x軸距離最大的點(diǎn)是（1，yo），

∴|H|＝yo＝+b≥，當(dāng)b＝0時(shí)等號(hào)成立．

在x軸下方與x軸距離最大的點(diǎn)是，

∴|h|＝||＝≥，當(dāng)b＝0時(shí)等號(hào)成立．

∴這時(shí)|yo|的最小值等于．

③當(dāng)0＜≤1，即﹣2≤b＜0時(shí)，如圖3，在x軸上方與x軸距離最大的點(diǎn)是

（﹣1，yo），

∴|H|＝yo＝1+（﹣1）b﹣＝﹣b＞，在x軸下方與x軸距離最大的點(diǎn)是 ，

∴|h|＝|yo|＝||＝＞．

∴這 時(shí)|yo|的 最 小 值 大 于．

④當(dāng)1＜，即b＜﹣2時(shí)，如圖4，在x軸上方與x軸距離最大的點(diǎn)是（﹣1，yo），

∴|H|＝﹣b＞，在x軸下方與x軸距離最大的點(diǎn)是（1，yo），

∴|h|＝|+b|＝﹣（b+）＞，

∴|H|＞|h|，

∴這時(shí)|yo|的最小值大于，

綜上所述，當(dāng)b＝0，x0＝0時(shí)，這時(shí)|yo|取最小值，為|yo|＝．