Question

【題目】如圖，已知∠AOB＝60°，在∠AOB的平分線OM上有一點(diǎn)C，將一個(gè)120°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，它的兩條邊分別與直線OA、OB相交于點(diǎn)D、E．

（1）當(dāng)∠DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時(shí)（如圖1），請(qǐng)猜想OE+OD與OC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）當(dāng)∠DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時(shí)，到達(dá)圖2的位置，（1）中的結(jié)論是否成立？并說(shuō)明理由；

（3）當(dāng)∠DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA的反向延長(zhǎng)線相交時(shí)，上述結(jié)論是否成立？請(qǐng)?jiān)趫D3中畫(huà)出圖形，若成立，請(qǐng)給于證明；若不成立，線段OD、OE與OC之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需證明.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（1）中結(jié)論仍然成立，見(jiàn)解析；（3）（1）中結(jié)論不成立， ，見(jiàn)解析.

【解析】

（1）先判斷出∠OCE=60°，再利用特殊角的三角函數(shù)得出ODOC，同OEOC，即可得出結(jié)論；

（2）同（1）的方法得OF+OGOC，再判斷出△CFD≌△CGE，得出DF=EG，最后等量代換即可得出結(jié)論；

（3）同（2）的方法即可得出結(jié)論．

（1）∵OM是∠AOB的角平分線，

∴∠AOC=∠BOC∠AOB=30°．

∵CD⊥OA，∴∠ODC=90°，

∴∠OCD=60°，

∴∠OCE=∠DCE﹣∠OCD=60°．

在Rt△OCD中，OD=OCcos30°OC，

同理：OEOC，

∴OD+OEOC；

（2）（1）中結(jié)論仍然成立，理由如下：

過(guò)點(diǎn)C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，

∴∠OFC=∠OGC=90°．

∵∠AOB=60°，

∴∠FCG=120°，

同（1）的方法得：OFOC，OGOC，

∴OF+OGOC．

∵CF⊥OA，CG⊥OB，且點(diǎn)C是∠AOB的平分線OM上一點(diǎn)，

∴CF=CG．

∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，

∴∠DCF=∠ECG，

∴△CFD≌△CGE，

∴DF=EG，

∴OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG，

∴OF+OG=OD+EG+OE﹣EG=OD+OE，

∴OD+OEOC；

（3）（1）中結(jié)論不成立，結(jié)論為：OE﹣ODOC，理由如下：

過(guò)點(diǎn)C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，

∴∠OFC=∠OGC=90°．

∵∠AOB=60°，

∴∠FCG=120°，

同（1）的方法得：OFOC，OGOC，

∴OF+OGOC．

∵CF⊥OA，CG⊥OB，且點(diǎn)C是∠AOB的平分線OM上一點(diǎn)，

∴CF=CG．

∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，

∴∠DCF=∠ECG，

∴△CFD≌△CGE，

∴DF=EG，

∴OF=DF﹣OD=EG﹣OD，OG=OE﹣EG，

∴OF+OG=EG﹣OD+OE﹣EG=OE﹣OD，

∴OE﹣ODOC．