如圖所示,已知兩點(diǎn)A(-1,0),B(4,0),以AB為直徑的半圓P交y軸于點(diǎn)C.
(1)求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式;
(2)設(shè)弦AC的垂直平分線交OC于D,連接AD并延長交半圓P于點(diǎn)E,相等嗎?請證明你的結(jié)論;
(3)設(shè)點(diǎn)M為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn),OM=AE,是否存在過點(diǎn)M的直線,使該直線與(1)中所得的拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離相等?若存在,求出這條直線對應(yīng)函數(shù)的解析式;若不存在.請說明理由.
(1);
(2),證明見解析;
(3)不存在,理由見解析.

試題分析:(1)本題的關(guān)鍵是求出C點(diǎn)的坐標(biāo),可通過構(gòu)建直角三角形來求解.連接BC,即可根據(jù)射影定理求出OC的長,也就得出了C點(diǎn)的坐標(biāo),已知了A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)后即可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式.
(2)求弧AC=弧CE,可通過弧對的圓周角相等來證,即證∠EAC=∠ABC,根據(jù)等角的余角相等不難得出∠ACO=∠ABC,因此只需證∠DCA=∠DAC即可.由于PD是AC的垂直平分線,根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等,可得出DA=DC,即可證得∠DAC=∠DCA,由此可證出弧AC=弧CE.
(3)可先求出M點(diǎn)的坐標(biāo),由于OM=AE,因此要先求出AE的長.如果連接PC,設(shè)PC與AE的交點(diǎn)為F,那么OF=OM=AE,OF的長可通過證三角形CAO和AFC全等來得出,有了OM的長就能得出M的坐標(biāo).可先設(shè)出過M于拋物線相交的直線的解析式.然后根據(jù)兩交點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離相等,即橫坐標(biāo)互為相反數(shù),可根據(jù)(1)的拋物線的解析式表示出著兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo),然后將兩交點(diǎn)和M的坐標(biāo)代入直線的解析式中,可得出一個(gè)方程組,如果方程組無解,那么不存在這樣的直線,如果有解,可根據(jù)方程組的解得出直線的解析式.
(1)如圖,連接BC,
∵AB為直徑,
∴∠ACB=90度.
∴OC2=OA•OB,
∵A(-1,0),B(4,0),
∴OA=1,OB=4,
∴OC2=4,
∴OC=2,
∴C的坐標(biāo)是(0,2).
設(shè)經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=a(x+1)(x-4),
把x=0時(shí),y=2代入上式得:
a=-,

(2)
證明:∵∠ACB=90度.
∴∠CAB+∠ABC=90度.
∵∠CAB+∠ACO=90度.
∴∠ABC=∠ACO.
∵PD是AC的垂直平分線,
∴DA=DC,
∴∠EAC=∠ACO.
∴∠EAC=∠ABC,

(3)不存在.
如圖,連接PC交AE于點(diǎn)F,
,
∴PC⊥AE,AF=EF,
∵∠EAC=∠ACO,∠AFC=∠AOC=90°,
AC=CA,
∴△ACO≌△CAF,
∴AF=CO=2,
∴AE=4.
∵OM=AE,
∴OM=2.
∴M(-2,0),
假設(shè)存在,設(shè)經(jīng)過M(-2,0)和相交的直線是y=kx+b;
因?yàn)榻稽c(diǎn)到y(tǒng)軸的距離相等,所以應(yīng)該是橫坐標(biāo)互為相反數(shù),
設(shè)兩橫坐標(biāo)分別是a和-a,則兩個(gè)交點(diǎn)分別是(a,)與(-a,),
把以上三點(diǎn)代入y=kx+b,得
 ,
此方程無解,所以不存在這樣的直線.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖1,拋物線經(jīng)過A(-1,0),C(3,-2)兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn)D,與軸交于另一點(diǎn)B.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)若直線)將四邊形ABCD面積二等分,求的值;
(3)如圖2,過點(diǎn)E(1,1)作EF⊥軸于點(diǎn)F,將△AEF繞平面內(nèi)某點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°得△MNQ(點(diǎn)M、N、Q分別與點(diǎn)A、E、F對應(yīng)),使點(diǎn)M、N在拋物線上,求點(diǎn)N和點(diǎn)P的坐標(biāo)?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知拋物線y=﹣x2+bx+4與x軸相交于A、B兩點(diǎn),與y軸相交于點(diǎn)C,若已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為A(﹣2,0).
(1)求拋物線的解析式及它的對稱軸;
(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo),連接AC、BC并求線段BC所在直線的解析式;
(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q,使△ACQ為等腰三角形?若存在,求出符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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將一條拋物線向左平移2個(gè)單位后得到了y=2x2的函數(shù)圖象,則這條拋物線是(   )  
A.y=2x2+2B.y=2x2-2C.y=2(x-2)2D.y=2(x+2)2

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A、B、C在x軸上,點(diǎn)D、E在y軸上,OA=OD=2,OC=OE=4,B為線段OA的中點(diǎn),直線AD與經(jīng)過B、E、C三點(diǎn)的拋物線交于F、G兩點(diǎn),與其對稱軸交于M,點(diǎn)P為線段FG上一個(gè)動點(diǎn)(點(diǎn)P與F、G不重合),作PQ∥y軸與拋物線交于點(diǎn)Q.
(1)若經(jīng)過B、E、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=-x2+(2b-1)x+c-5,則b=         ,c=         (直接填空)
(2)①以P、D、E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為         (直接填空)
②若拋物線頂點(diǎn)為N,又PE+PN的值最小時(shí),求相應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo).
(3)連結(jié)QN,探究四邊形PMNQ的形狀:
①能否成為平行四邊形
②能否成為等腰梯形?若能,請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不能,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=2,點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上,當(dāng)點(diǎn)A在x軸上運(yùn)動時(shí),點(diǎn)C隨之在y軸上運(yùn)動.在運(yùn)動過程中,點(diǎn)B到原點(diǎn)的最大距離是(    )

A.6      B.2      C.2           D.2+2

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

二次函數(shù)≠0)圖象如圖所示,下列結(jié)論:①>0;②=0;③當(dāng)≠1時(shí),;④>0;⑤若,且,則=2.其中正確的有(  )
A.①②③ B.②④ C.②⑤ D.②③⑤

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

某賓館有30個(gè)房間供游客住宿,當(dāng)每個(gè)房間的房價(jià)為每天120元時(shí),房間會全部住滿.當(dāng)每個(gè)房間每天的房價(jià)每增加10元時(shí),就會有一個(gè)房間空閑.賓館需對游客居住的每個(gè)房間每天支出20元的各種費(fèi)用.根據(jù)規(guī)定,每個(gè)房間每天的房價(jià)不得高于210元.設(shè)每個(gè)房間的房價(jià)增加x元(x為10的正整數(shù)倍).
(1)設(shè)一天訂住的房間數(shù)為y,直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍;
(2)設(shè)賓館一天的利潤為w元,求w與x的函數(shù)關(guān)系式;
(3)一天訂住多少個(gè)房間時(shí),賓館的利潤最大?最大利潤是多少元?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

如圖,已知邊長為4的正方形ABCD,E是BC邊上一動點(diǎn)(與B、C不重合),連結(jié)AE,作EF⊥AE交∠BCD的外角平分線于F,設(shè)BE=x,△ECF的面積為y,下列圖象中,能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是(   )

A.          B.
C.        D.

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