Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB=AC，BD是⊙O的直徑，AD與BC交于點(diǎn)E，F(xiàn)在DA的延長線上，且BF=BE． 
（1）試判斷BF與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若BF=6，cosC=

4

5

，求⊙O的直徑．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：

分析：（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出∠FBA=∠EBA=∠C，推出∠D=∠C=∠FBA，根據(jù)∠DAB=90°推出∠D+∠DBA=90°，求出∠ABD+∠FBA=90°，根據(jù)切線的判定推出即可．
（2）設(shè)AD=4x，BD=5x，求出AB=3x，根據(jù)三角形面積公式求出DF，根據(jù)勾股定理得出關(guān)于x的方程，求出x，即可求出答案．

解答：解：（1）BF與⊙O的位置關(guān)系是相切，
理由是：∵∠D和∠C都對弧AB，
∴∠C=∠D，
∵BD是直徑，
∴∠DAB=90°，
∴∠D+∠ABD=90°，
∴∠C+∠ABD=90°，
∵∠DAB=90°，
∴BA⊥EF，
∵BE=BF，
∴∠EBA=∠FBA，
∵AB=AC，
∴∠C=∠EBA=∠FBA，
∵∠C+∠ABD=90°（已證），
∴∠FBA+∠ABD=90°，
∴∠FBD=90°，
∵OB是半徑，
∴BF是⊙O的切線，
即BF與⊙O的位置關(guān)系是相切；

（2）∵BD是直徑，
∴∠BAD=∠BAF=90°，
∵cosC=

4

5

，
∴cosD=cosC=

4

5

=

DA

BD

，
設(shè)DA=4x，BD=5x，由勾股定理得：BA=3x，
在Rt△DBF中，由三角形面積公式得：BD×BF=DF×BA，
即5x•6=DF•3x，
解得：DF=10，
即AF=10-4x，
在Rt△BAF中，由勾股定理得：（3x）²+（10-4x）²=6²，
解得：x₁=x₂=

8

5

，
BD=5x=8，
即⊙O的直徑是8．

點(diǎn)評：本題考查了三角形面積，等腰三角形性質(zhì)，勾股定理，扇形面積，圓周角定理等知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用，題目綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．