Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以BC為直徑的⊙O與AC相交于點(diǎn)D，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是⊙O上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PF⊥BC交BC于點(diǎn)G，交AC于點(diǎn)F．
（1）試判斷ED與⊙O的位置關(guān)系并說明理由．
（2）連接CP，若CF=1，CP=2，sinA=

4

5

，求⊙O的直徑BC．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接DO，利用圓周角定理得出，△BDC為直角三角形，進(jìn)而得出∠OBD+∠ABD=90°，求出即可；
（2）首先得出△PCF∽△DCP，進(jìn)而求出CD=

PC2

CF

，由sinA=

4

5

，得出BC的長．

解答：解：（1）ED與⊙O相切．
理由：連接DO，
∵BC為直徑，
∴△BDC為直角三角形，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
在Rt△ADB中，E為AB中點(diǎn)，
∴DE=BE，
∴∠ABD=∠EDB，
∵∠OBD+∠ABD=90°，
∴ED是⊙O的切線；

（2）∵PF⊥BC，
∴∠FPC=∠PDC，
又∵∠PCF為公共角，
∴△PCF∽△DCP，
∴

PC

DC

=

CF

CP

，
∴CD=

PC2

CF

，
又∵CF=1，CP=2，
∴CD=4，
∵sin∠DBC=sinA=

4

5

，
∴

DC

BC

=

4

5

，
即

4

BC

=

4

5

，
解得：BC=5．

點(diǎn)評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及圓周角定理和切線的判定等知識，得出CD的長是解題關(guān)鍵．