Question

如圖，在△ABC中，∠C=2∠B，D是BC邊上一點(diǎn)，且AD⊥AB．
（1）求證：BD=2AC；
（2）若∠C=45°，AD²=4-2

2

，求CD的長度．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線

專題：

分析：（1）找到BD中點(diǎn)E，連接AE，易證AE=BE，AE=AC，即可解題；
（2）易證∠ADB=67.5°，即可求得AB²的值，再根據(jù)勾股定理即可求得BD的長，即可求得AC的長，易證△ACD∽△BCA，可得

AC

BC

=

CD

AC

，即可求得CD的長，即可解題．

解答：解：（1）找到BD中點(diǎn)E，連接AE，

∵E是BD中點(diǎn)，
∴AE=BE，
∴∠B=∠BAE，
∴∠AEC=2∠B，
∵∠C=2∠B，
∴∠AEC=∠C，
∴AE=AC，
∴BD=2AC；
（2）∵∠C=45°，
∴∠B=22.5°，
∴∠ADB=67.5°，
∴AB²=AD²•tan67.5°=（4-2

2

）•(

2

+1)2=4+2

2

，
∵BD²=AB²+AD²=8，
∴BD=2

2

，
∴AC=

2

，
∵∠BAD=90°，
∴∠CAD=22.5°，
∴△ACD∽△BCA，
∴

AC

BC

=

CD

AC

，
∴CD（CD+2

2

）=2，
解得：CD=2-

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形對(duì)應(yīng)邊比例相等的性質(zhì)，考查了直角三角形中勾股定理的運(yùn)用，本題中求證△ACD∽△BCA是解題的關(guān)鍵．