Question

知識背景：火晶柿子是我市臨潼區(qū)特有的柿樹品種，因其個小色紅，晶瑩光亮，皮薄無核深受國內(nèi)外游客歡迎．在市場出售時，要求“火晶柿子”用雙層上蓋的長方體紙箱封裝（上蓋紙板面積剛好等于底面積的2倍，如圖）
（1）實(shí)際運(yùn)用：如果要求紙箱的高位0.5米，底面是黃金矩形（寬與長的黃金比，取黃金比為0.6），體積為0.3立方米．為制作紙箱，小明設(shè)計(jì)兩種方案，如下圖：
①若按方案1做一個紙箱，需要矩形硬紙板A₁B₁C₁D₁的面積是

 

平方米；
②如果從節(jié)省材料的角度考慮，你會選擇方案

 

，并說明理由．（方案2）是用菱形硬紙板A₂B₂C₂D₂做一個紙箱）
（2）拓展思維：一家水果商打算在臨潼購進(jìn)一批“火晶柿子”但他感覺（1）中的紙箱體積太大，搬運(yùn)吃力，要求將紙箱的底面周長、底面積和高度設(shè)計(jì)為原來的一般，你認(rèn)為水果商的要求能辦到嗎？如果能，請幫他算出紙箱的尺寸；如果不能，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的應(yīng)用,菱形的性質(zhì),矩形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）①利用寬與長的比是黃金比，取黃金比為0.6，假設(shè)底面長為x，寬就為0.6x，再利用圖形得出QM=

1

2

+0.5+1+0.5+

1

2

=3，F(xiàn)H=0.3+0.5+0.6+0.5+0.3=2.2，進(jìn)而求出即可；
②根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，對角線乘積的一半絕對小于矩形邊長乘積即可得出答案；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)面積比等于相似比的平方得出即可．

解答：解：（1）①∵紙箱的高為0.5米，底面是黃金矩形（寬與長的比是黃金比，取黃金比為0.6），體積為0.3立方米，
∴假設(shè)底面長為x，寬就為0.6x，
∴體積為：0.6x•x•0.5=0.3，
解得：x=1，
∴AD=1，CD=0.6，
DW=KA=DT=JC=0.5，F(xiàn)T=JH=CD=0.3，
WQ=MK=

1

2

AD=

1

2

，
∴QM=

1

2

+0.5+1+0.5+

1

2

=3，
FH=0.3+0.5+0.6+0.5+0.3=2.2，
∴矩形硬紙板A₁B₁C₁D₁的面積是3×2.2=6.6平方米；
②從節(jié)省材料的角度考慮，采用方案2（如圖）的菱形硬紙板A₂B₂C₂D₂做一個紙箱比方案1更優(yōu)，
∵如圖可知△MAE，△NBG，△HCF，△FDQ面積相等，且和為2個矩形FDQD₁，
又∵菱形的性質(zhì)得出，對角線分別等于矩形的長與寬的菱形的面積小于矩形的面積；
∴從節(jié)省材料的角度考慮，采用方案2（如圖）的菱形硬紙板A₂B₂C₂D₂做一個紙箱比方案1更優(yōu)，

（2）∵將紙箱的底面周長、底面面積和高都設(shè)計(jì)為原來的一半時，
∴邊長為：0.5，0.3，底面積將變?yōu)椋?.3×0.5=0.15，
將變?yōu)樵瓉淼?span id="y2m2i4u" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

1

4

，高再變?yōu)樵瓉淼囊话霑r，體積將變?yōu)樵瓉淼?span id="uaiaoea" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

1

8

，
∴水果商的要求不能辦到．

點(diǎn)評：此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用以及正方形性質(zhì)與菱形性質(zhì)等知識，根據(jù)題意得出DW=KA=DT=JC=0.5，F(xiàn)T=JH=12CD=0.3，WQ=MK=12AD=12是解決問題的關(guān)鍵．