Question

14．如圖，△ABC的頂點坐標(biāo)為A（0，4）、B（-3，0）、C（2，0），將△ABC沿AC翻折后，點B的對稱點恰好落在函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上的D點處．
（1）求k的值．
（2）已知點P為該函數(shù)圖象上一點，點Q為坐標(biāo)軸上一點，當(dāng)以A，B，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出點Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)A、B、C三點的坐標(biāo)求出AB=BC=5，由翻折得AD=CD=5，則四邊形ABCD為菱形，寫出點D的坐標(biāo)，并計算k的值；
（2）設(shè)點P（x，y），則xy=20，分點Q在x與y軸兩種情況考慮：利用P、Q所構(gòu)成的直角三角形與直角△AOB
全等列方程組分別求出點Q的坐標(biāo)．

解答 解：（1）如圖1，∵A（0，4）、B（-3，0）、C（2，0），
∴AB=BC=5，OA=4，
∵將△ABC沿AC翻折后得到△ACD，
∴AD=CD=5，
∴四邊形ABCD為菱形，
∴點D的坐標(biāo)為（5，4），
∵點D在函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上，
∴k=5×4=20；
（2）設(shè)點P（x，y），則xy=20，
分點Q在x與y軸兩種情況考慮：
①點Q在x軸上，如圖2，設(shè)點Q的坐標(biāo)為（m，0），
當(dāng)線段AB為邊組成?ABPQ時，AB=PQ=5，
則$\left\{\begin{array}{l}{y=-4}\\{-x+m=3}\end{array}\right.$    解得m=-2，
∴Q（-2，0）；
②點Q在y軸的正半軸上時，如圖3，設(shè)點Q的坐標(biāo)為（0，b），
當(dāng)線段AB為邊組成?ABQP時，AB=PQ=5，
則$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{\frac{20}{x}-b=4}\end{array}\right.$    解得b=$\frac{8}{3}$，
∴Q（0，$\frac{8}{3}$）；
③點Q在y軸的負(fù)半軸上時，如圖4，設(shè)點Q的坐標(biāo)為（0，b），
同理得$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{-\frac{20}{x}=4-b}\end{array}\right.$    解得b=-$\frac{8}{3}$，
∴Q（0，-$\frac{8}{3}$）；
④點Q在y軸的正半軸上時，如圖5，設(shè)點Q的坐標(biāo)為（0，b），
同理得$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{-\frac{20}{x}=b-4}\end{array}\right.$    解得b=$\frac{32}{3}$，
∴Q（0，$\frac{32}{3}$）；
⑤點Q在x軸的正半軸上，且與C重合，P與D重合時，如圖6，
此時點Q的坐標(biāo)為（2，0），設(shè)點P（x，y），則y=4，
∴x=5，
∴AD=AB=BC=DC，
此時四邊形ABPQ是菱形，符合條件，
∴Q（2，0）；
⑥點Q在x軸的負(fù)半軸上，P與D重合時，如圖7，
當(dāng)線段AB為對角線組成?AQBP時，AD=BQ=5，
∴Q（-8，0）；
綜上所述：點Q的坐標(biāo)為（-2，0）或（0，$\frac{8}{3}$）或（0，-$\frac{8}{3}$）或（2，0）或（0，$\frac{32}{3}$）或（-8，0）．

點評 本題是反比例函數(shù)、平行四邊形及翻折變換的綜合題，綜合性較強(qiáng)；考查了平行四邊形的性質(zhì)和反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)的特點；若兩動點與兩定點構(gòu)成特殊的四邊形時，要分情況進(jìn)行討論，容易丟解，因此要認(rèn)真分析，準(zhǔn)確解答．