Question

已知：直線l₁：y=3x和直線l₂：y=kx-b交于A（1，m），直線l₂：y=kx-b交x軸正半軸于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C，且S_△ABO=6
（1）求m，k，b的值；
（2）求l₁：y=3x將△BOC分成兩個(gè)小三角形的面積比；
（3）若過OC中點(diǎn)D的直線l₃將△BOC分成面積比3：5的兩部分，求l₃與x軸的交點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：兩條直線相交或平行問題

專題：計(jì)算題

分析：（1）先把A（1，m）代入y=3x可確定A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），根據(jù)三角形面積公式得到

1

2

•3•OB=6，解得OB=4，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），然后把A（1，3），B（4，0）代入y=kx-b得

k-b=3 4k-b=0

，再解方程組即可；
（2）先確定C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4），再分別計(jì)算S_△OAC=2，則S_△OAC：S_△AOB=1：3，
（3）先確定D（0，2），直線l₃與BC交于點(diǎn)Q，如圖，設(shè)P（t，-t+4），分類討論：當(dāng)S_△CDQ：S_{四邊形AODQ}=3：5，易得S_△CDQ=3，即

1

2

•2•t=3，解得t=3，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，1），然后利用待定系數(shù)法求出直線l₃的解析式為y=-

1

3

x+2，再計(jì)算出當(dāng)y=0時(shí)x=6，則得到P（6，0）．當(dāng)S_△CDQ：S_{四邊形AODQ}=5：3，得到S_△CDQ=5，即

1

2

•2•t=5，解得t=5，得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（5，-1），點(diǎn)Q不在線段BC上，舍去．

解答：解：（1）把A（1，m）代入y=3x得m=3，則A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），
∵S_△ABO=6，
∴

1

2

•3•OB=6，解得OB=4，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），
把A（1，3），B（4，0）代入y=kx-b得

k-b=3 4k-b=0

，解得

k=-1 b=-4

，
即m，k，b的值分別為3，-1，-4；
（2）直線l₂的解析式為y=-x+4，當(dāng)x=0時(shí)，y=4，則C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4），
∵S_△OAC=

1

2

•4•1=2，S_△AOB=6，
∴S_△OAC：S_△AOB=2：6=1：3，
即l₁：y=3x將△BOC分成兩個(gè)小三角形的面積比為1：3；
（3）∵點(diǎn)D為OC的中點(diǎn)，
∴D（0，2），
直線l₃與BC交于點(diǎn)Q，如圖，設(shè)P（t，-t+4），
當(dāng)S_△CDQ：S_{四邊形AODQ}=3：5，
∵S_△OBC=8，
∴S_△CDQ=3，
∴

1

2

•2•t=3，解得t=3，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，1），
設(shè)直線l₃的解析式為y=px+q，
把D（0，2），Q（3，1）代入得

q=2 3p+q=1

，解得

p=- 1 3 q=2

，
直線l₃的解析式為y=-

1

3

x+2，
當(dāng)y=0時(shí)，-

1

3

x+2=0，解得x=6，即P（6，0）．
當(dāng)S_△CDQ：S_{四邊形AODQ}=5：3，
∵S_△OBC=8，
∴S_△CDQ=5，
∴

1

2

•2•t=5，解得t=5，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（5，-1），點(diǎn)Q不在線段BC上，舍去，
∴l(xiāng)₃與x軸的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了兩直線相交或平行問題：兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是由這兩條直線相對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)表達(dá)式所組成的二元一次方程組的解；若兩條直線是平行的關(guān)系，那么他們的自變量系數(shù)相同，即k值相同．