【題目】如圖(1),已知拋物線E:y=ax2+bx+c與x軸交于A,B(3,0)兩點(A在B的左側(cè)),與y軸交于點C(0,3),對稱軸為直線x=1.
(1)填空:a= ,b= ,c= ;
(2)將拋物線E向下平移d個單位長度,使平移后所得拋物線的頂點落在△OBC內(nèi)(包括△OBC的邊界),求d的取值范圍;
(3)如圖(2),設(shè)點P是拋物線E上任意一點,點H在直線x=﹣3上,△PBH能否成為以點P為直角頂點的等腰直角三角形?若能,請求出符合條件的點P的坐標;若不能,請說明理由.
【答案】(1)﹣1,2,3;(2)d的范圍為2≤d≤4;(3)P(1,4)或(0,3)或()或()
【解析】
(1)先確定出點A坐標,最后用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論;
(2)先求出直線BC解析式,再確定出頂點坐標(1,4),最后根據(jù)平移即可得出結(jié)論;
(3)分兩種情況,利用全等三角形的對應(yīng)邊相等,建立方程求解即可得出結(jié)論.
(1)∵拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為直線x=1,B(3,0),
∴A(﹣1,0),
∵點A(﹣1,0),B(3,0),C(0,3)在拋物線上,
∴
故答案為:﹣1,2,3;
(2)∵B(3,0),C(0,3),
∴直線BC的解析式為y=﹣x+3,
∵a=﹣1,b=2,c=3,
∴拋物線y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
∴拋物線E的頂點坐標為(1,4),
∵對于直線y=﹣x+3,
當x=1時,y=2,
∵拋物線E向下平移d個單位,
∴當d=2時,拋物線的頂點落在BC上,
當d=4時,拋物線的頂點落在OB上,
∴d的范圍為2≤d≤4;
(3)設(shè)P(m,﹣m2+2m+3),H(﹣3,n),
①當點P在x軸上方時,如圖(2),過點P作PE⊥直線x=﹣3于E,過點B作BF⊥EP交EP的延長線于F,
∵B(3,0),△PBH是以點P為直角頂點的等腰直角三角形,
∴∠BPH=90°,BP=PH,
∴∠EPH=∠FBP,
∴△PHE≌△BPE,
∴PE=BF,
∵PE=BF=﹣m2+2m+3,PF=3﹣m,且PE=PF=6,
∴﹣m2+2m+3+3﹣m=6,
∴m=1或m=0,
∴P(1,4)或(0,3);
②當點P在x軸下方時,如圖(1),
過點P作PG⊥直線x=﹣3于G,過點B作BK⊥GP交GP的延長線于K,
易知,△PHG≌△BPK,
∴PG=BK,
∴PG=6﹣(3﹣m)=m+3,BK=m2﹣2m﹣3,
∴m+3=m2﹣2m﹣3,
∴
∴或.
即:P(1,4)或(0,3)或或
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【題目】如圖,在ABC中,AD⊥BC,垂足為D,∠B=60°,∠C=45°
(1)求∠BAC的度數(shù);
(2)若BD=2,求CD的長.
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【題目】
如圖,在△ABC中,點E、D、F分別在邊AB、BC、CA上,且DE∥CA,DF∥BA.下列四個判斷中,不正確的是( )
A.四邊形AEDF是平行四邊形
B.如果∠BAC=90°,那么四邊形AEDF是矩形
C.如果AD平分∠BAC,那么四邊形AEDF是矩形
D.如果AD⊥BC且AB=AC,那么四邊形AEDF是菱形
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【題目】如圖,正五邊形的邊長為2,連接對角線AD,BE,CE.線段AD分別與BE,CE相交于點M,N.給出下列結(jié)論:①△ABM≌△DCN;②DM2=DNAD;③MN=3+;④四邊形ANCB為菱形.其中正確的是_____
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【題目】如圖,△ABC中,AB、AC的垂直平分線分別交BC于點E、F.若△AEF的周長為12cm,則BC的長為____________________cm.若∠EAF=110°,則∠BAC=_____________________.
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【題目】已知y-2與x+2成正比例,且x=1時,y=8.
解答:⑴求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
⑵ 在平面直角坐標系中,① 畫出 ⑴ 中的y與x之間的函數(shù)關(guān)系式的圖像;
②若將此圖像繞著原點O逆時針轉(zhuǎn)90°,求出此圖像的函數(shù)關(guān)系式.
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【題目】如圖,A,P,B,C是半徑為8的⊙O上的四點,且滿足∠BAC=∠APC=60°,
(1)求證:△ABC是等邊三角形;
(2)求圓心O到BC的距離OD.
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【題目】如圖所示的折線是某個函數(shù)的圖象,根據(jù)圖象解答下列問題.
(1)寫出自變量x的取值范圍:__________,函數(shù)值y的取值范圍:__________;
(2)求這個分段函數(shù)的表達式.
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【題目】已知△ABC是等腰直角三角形,∠C=90°,點M是AC的中點,延長BM至點D,使DM=BM,連接AD.
(1)如圖①,求證:△DAM≌△BCM;
(2)已知點N是BC的中點,連接AN.
①如圖②,求證:△BCM≌△ACN;
②如圖③,延長NA至點E,使AE=NA,連接DE.求證:BD⊥DE.
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