Question

【題目】如圖（1），已知拋物線E：y=ax2+bx+c與x軸交于A，B（3，0）兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），對(duì)稱軸為直線x=1．

（1）填空：a=　 　，b=　 　，c=　 　；

（2）將拋物線E向下平移d個(gè)單位長(zhǎng)度，使平移后所得拋物線的頂點(diǎn)落在△OBC內(nèi)（包括△OBC的邊界），求d的取值范圍；

（3）如圖（2），設(shè)點(diǎn)P是拋物線E上任意一點(diǎn)，點(diǎn)H在直線x=﹣3上，△PBH能否成為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若能，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）﹣1，2，3；（2）d的范圍為2≤d≤4；（3）P（1，4）或（0，3）或（）或（）

【解析】

（1）先確定出點(diǎn)A坐標(biāo)，最后用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論；

（2）先求出直線BC解析式，再確定出頂點(diǎn)坐標(biāo)（1，4），最后根據(jù)平移即可得出結(jié)論；

（3）分兩種情況，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，建立方程求解即可得出結(jié)論．

（1）∵拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸為直線x=1，B（3，0），

∴A（﹣1，0），

∵點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）在拋物線上，

∴

故答案為：﹣1，2，3；

（2）∵B（3，0），C（0，3），

∴直線BC的解析式為y=﹣x+3，

∵a=﹣1，b=2，c=3，

∴拋物線y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴拋物線E的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），

∵對(duì)于直線y=﹣x+3，

當(dāng)x=1時(shí)，y=2，

∵拋物線E向下平移d個(gè)單位，

∴當(dāng)d=2時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)落在BC上，

當(dāng)d=4時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)落在OB上，

∴d的范圍為2≤d≤4；

（3）設(shè)P（m，﹣m2+2m+3），H（﹣3，n），

①當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，如圖（2），過點(diǎn)P作PE⊥直線x=﹣3于E，過點(diǎn)B作BF⊥EP交EP的延長(zhǎng)線于F，

∵B（3，0），△PBH是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，

∴∠BPH=90°，BP=PH，

∴∠EPH=∠FBP，

∴△PHE≌△BPE，

∴PE=BF，

∵PE=BF=﹣m2+2m+3，PF=3﹣m，且PE=PF=6，

∴﹣m2+2m+3+3﹣m=6，

∴m=1或m=0，

∴P（1，4）或（0，3）；

②當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，如圖（1），

過點(diǎn)P作PG⊥直線x=﹣3于G，過點(diǎn)B作BK⊥GP交GP的延長(zhǎng)線于K，

易知，△PHG≌△BPK，

∴PG=BK，

∴PG=6﹣（3﹣m）=m+3，BK=m2﹣2m﹣3，

∴m+3=m2﹣2m﹣3，

∴

∴或.

即：P（1，4）或（0，3）或或