【題目】如圖,A是半徑為6cm的⊙O上的定點,動點PA出發(fā),以πcm/s的速度沿圓周按順時針方向運動,當點P回到A時立即停止運動.設點P運動時間為t(s);

(1)當t=6s時,∠POA的度數(shù)是________;

(2)當t為多少時,∠POA=120°;

(3)如果點BOA延長線上的一點,且AB=AO,問t為多少時,POB為直角三角形?請說明理由.

【答案】(1)180;當點P運動的時間t4s8s時,∠POA=120°;(3)當點P運動的時間為2s3s9s10s時,△POB為直角三角形.

【解析】

(1)先根據(jù)路程=速度×時間得出當t=6s時,點P運動的路程即弧AP的長度,再根據(jù)弧長公式即可求出∠POA的度數(shù);

(2)當∠POA=120°時,點P運動的路程為⊙O周長的,所以分兩種情況進行分析;

(3)POB為直角三角形時,由于動點P沿圓周運動,所以以B為頂點的角不可能為直角,那么分∠POB=90°,OPB=90°兩種情況進行分析.

解:(1)設∠POA=n°,則

=6π=,

∴n=180.

∠POA的度數(shù)是180.

故答案為180;

(2)當∠POA=120°時,如圖,點P運動的路程為⊙O周長的(圖中P1處)或(圖中P2處),

設點P運動的時間為ts.

當點P運動的路程為⊙O周長的時,πt=2π6,

解得t=4;

當點P運動的路程為⊙O周長的時,πt=2π6,

解得t=8;

當點P運動的時間t4s8s時,∠POA=120°;

(3)分兩種情況:

∠POB=90°時,如圖,點P運動的路程為⊙O周長的(圖中P1處)或(圖中P2處),

設點P運動的時間為ts.

當點P運動的路程為⊙O周長的時,πt=2π6,

解得t=3;

當點P運動的路程為⊙O周長的時,πt=2π6,

解得t=9.

當點P運動的時間為3s9s時,△POB為直角三角形;

∠OPB=90°時,如圖,(圖中P3處)或(圖中P4處),

設點P運動的時間為ts.

當點P運動P3處時,連接AP3

∵∠OP3B=90°,OA=AB,

∴AP3=OA=OP3

∴△OAP3是等邊三角形,

∴∠AOP3=60°,

∴πt=2π6,

解得t=2;

當點P運動P4處時,連接AP4

∵∠OP4B=90°,OA=AB,

∴AP4=OA=OP4

∴△OAP4是等邊三角形,

∴∠AOP4=60°,

∴πt=(1﹣)2π6,

解得t=10.

當點P運動的時間為2s10s時,△POB為直角三角形.

綜上可知,當點P運動的時間為2s3s9s10s時,△POB為直角三角形.

練習冊系列答案
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C. D.

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