Question

【題目】綜合與實踐

旋轉是圖形變化的方法之一，借助旋轉知識可以解決線段長、角的大小、取值范圍、判斷三角形形狀等問題，在實際生活中也有著十分重要的地位和作用.

問題背景

一塊等邊三角形建筑材料內一點到三角形三個頂點的距離滿足一定條件時，我們可以用所學的知識幫助工人師傅在沒有刻度尺的情況下求出等邊三角形的邊長.

數學建模

如圖，等邊三角形內有一點，已知，，.

問題解決

（1）如圖，將△ABP繞點順時針旋轉60°得到△CBP′，連接，易證∠BP′P=__°，△____為等邊三角形，____，___°.

（2）點H為直線BP′上的一個動點，則的最小值為______；

（3）求長；

拓展延伸

己知：點在正方形內，點在平面內，，.

（4）在圖中，連接PA、PC、PQ、QC，，若點、、在一條直線上，則____.

（5）若，連接，則____________；連接，當、、三點在同一條直線上時，△BDQ的面積為______.

Answer 1

【答案】（1）60°，△BP′P，∠CP′P，150；（2）；（3）；（4）；（5），，

【解析】

（1）根據旋轉的性質可得BP=BP′，∠PBP′=60°，AP=P′C，∠APB=∠BP′C，即可求出∠BP′P=60°，即可得△BP′P是等邊三角形，根據勾股定理的逆定理可得∠CP′P=90°，即可得∠CP′B的度數，根據旋轉性質可得∠APB=∠CP′B，即可得∠APB的度數；（2）過C作CH⊥BP′，交BP′的延長線于H，根據含30°角的直角三角形的性質求出CH的值即為最小值；（3）利用勾股定理可求出HP′的長，即可得BH的長，利用勾股定理求出BC的長進而可得答案；（4）由等腰直角三角形的性質可得∠BPQ=∠BQP=45°，PQ=，根據兩銳角互余的關系可得∠CBQ=∠ABP，利用SAS可證明△ABP≌△CBQ，進而可得PA=CQ，∠BQC=∠BPA=135°，可得∠PQC=90°，利用勾股定理可求出PC的長，根據余弦的定義即可得答案；（5）連接BD，以B為圓心，1為半徑畫圓，交BD于P，交AB、BC于E、F，連接DF，則OP為最小值，根據正方形的性質及勾股定理求出DP、DF的值即可；當D、P、Q在同一條直線上時，過B作BM⊥DQ，根據等腰直角三角形的性質可得BM=QM=PQ，利用勾股定理可求出DM的長，進而可得DQ的長，利用三角形面積公式即可得答案.

（1）∵△ABP繞點順時針旋轉60°得到△CBP′，

∴BP=BP′=4，∠PBP′=60°，AP=P′C=2，∠APB=∠BP′C，

∴∠BP′P=60°，

∴△BP′P是等邊三角形，

∴PP′=BP=4，

∵PC2=(2)2=28，PP′2=42=16，P′C2=(2)2=12，

∴PC2= PP′2+ P′C2，

∴△PP′C是直角三角形，∠CP′P=90°，

∴∠BP′C=∠CP′P+∠BP′P=90°+60°=150°，

∴∠APB=∠BP′C=150°，

故答案為：60°，△BP′P，∠CP′P，150°

（2）過C作CH⊥BP′，交BP′的延長線于H，

∵∠BP′C=150°，

∴∠P′HC=180°-150°=30°，

∴CH=P′C=，

故答案為：

（3）∵CH=，P′C=PA=2，

∴P′H==3，

∴BC===2，

∴AB=BC=2.

（4）∵BP=BQ=1，BQ⊥BP，

∴∠BPQ=∠BQP=45°，PQ=，

∴∠APB=135°，

∵∠ABP+∠PBC=90°，∠CBQ+∠PBC=90°，

∴∠ABP=∠CBQ，

∵AB=BC，∠ABP=∠CBQ，BQ=BP，

∴△ABP≌△CBQ，

∴QC=AP=，∠BQC=∠APB=135°，

∴∠PQC=90°，

∴PC==，

∴cos∠PCQ===，

故答案為：

（5）如圖，連接BD，以B為圓心，1為半徑畫圓，交BD于P，交AB、BC于E、F，連接DF，

∵BP=1，

∴點P在以B為圓心，1為半徑的圓上，

∴DP為最小值，

∵AB=AD=2，

∴BD=2，

∴DP=BD-BP=2-1，

∵BF=1，CD=2，

∴DF=，

∵點P在正方形內，

∴2-1≤DP<，

如圖，當D、P、Q在同一條直線上時，過B作BM⊥DQ，

∵BQ=BP=1，BQ⊥BP，

∴BM=QM=PQ=，

∴DM==，

∴DQ=DM+QM=+=，

∴S△BDQ=××=，

故答案為：2-1，，