【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm,點D從點A出發(fā)以1cm/s的速度運動到點C停止.作DE⊥AC交邊AB或BC于點E,以DE為邊向右作正方形DEFG.設(shè)點D的運動時間為t(s).
(1)求AC的長.
(2)請用含t的代數(shù)式表示線段DE的長.
(3)當(dāng)點F在邊BC上時,求t的值.
(4)設(shè)正方形DEFG與△ABC重疊部分圖形的面積為S(cm2),當(dāng)重疊部分圖形為四邊形時,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式.
【答案】(1)10cm;(2) 當(dāng)0≤t≤時,DE=t, 當(dāng)<t≤10時,DE=(10﹣t)=﹣t+;(3) t= ;(4) 當(dāng)0<t≤時,S== t2, 當(dāng)≤t<10時,S=(10﹣t)2.
【解析】試題分析:
(1)根據(jù)已知條件由“勾股定理”易得:AC=10cm;
(2)如圖1和圖2需分點E在AB上和BC上兩種情況,結(jié)合相似三角形的性質(zhì)即可求得對應(yīng)的DE的長;
(3)如圖3,由已知易證△CGF∽△CBA,從而可用含“t”的式子表達(dá)出GC的長,結(jié)合AD+DG+GC=BC=10及AD=t,DG=DE=t,即可求得對應(yīng)的t的值;
(4)結(jié)合(2)、(3)可知當(dāng)0<t≤時,重疊部分就是正方形DEFG;當(dāng)≤t<10時,重疊部分是四邊形DEMG;由已知條件分以上兩種情況進(jìn)行解答即可.
試題解析:
(1)在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm,
根據(jù)勾股定理得:AC=10cm;
(2)分兩種情況考慮:如圖1所示,
過B作BH⊥AC,
∵S△ABC=AB·BC=ACBH,
∴BH=,AH=,
∵∠ADE=∠AHB=90°,∠A=∠A,
∴△AED∽△ABH,
∴,即 ,
解得:DE=,
則當(dāng)0≤t≤時,DE=;
如圖2所示,
同理得到△CED∽△CBH,
∴,即 ,
解得:DE=(10﹣t)=﹣,
則當(dāng)<t≤10時,DE=(10﹣t)=﹣;
(3)如圖3所示,
如圖3,當(dāng)點F剛好落在BC邊上時,∵∠C=∠C,∠EGC=∠ABC=90°,
∴△FGC∽△ABC,
∴,即 ,
∴GC=,
∵AD+DG+GC=AC=10,
∴,解得:;
(4)如圖1所示,當(dāng)0<t≤時,S=DE2=;
如圖2所示,當(dāng)≤t<10時,
∵EF∥CG,
∴△EFM∽△CGM∽△CBA,
∴,即 ,解得:FM=,
∴S=S正方形DEFG-S△EFM
=DE2-DE·FM=.
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【題目】如圖,將正方形紙片ABCD折疊,使點D落在邊AB上的D'處,點C落在C'處,若∠AD'M=50°,則∠MNC'的度數(shù)為( 。
A. 100°B. 110°C. 120°D. 130°
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【題目】某地出租車計費方法如圖,x(km)表示行駛里程,y(元)表示車費,請根據(jù)圖象解答下列問題:
(1)該地出租車的起步價是 元;
(2)當(dāng)x>2時,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)若某乘客有一次乘出租車的里程為18km,則這位乘客需付出租車車費多少元?
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【題目】如圖,在正方形ABCD中,AD=2,E是AB的中點,將△BEC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°后,點E落在CB的延長線上點F處,點C落在點A處.再將線段AF繞點F順時針旋轉(zhuǎn)90°得線段FG,連結(jié)EF、CG.
(1)求證:EF∥CG;
(2)求點C、點A在旋轉(zhuǎn)過程中形成的、與線段CG所圍成的陰影部分的面積.
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【題目】如圖所示,已知AB是⊙O的直徑,BC⊥AB,連接OC,弦AD∥OC,直線CD交BA的延長線于點E.
(1)求證:直線CD是⊙O的切線;
(2)若DE=2BC,求AD:OC的值.
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【題目】如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2cm,D為BC的中點,若動點E以1cm/s的速度從A點出發(fā),沿著A→B→A的方向運動,設(shè)E點的運動時間為t秒(0≤t<6),連接DE,當(dāng)△BDE是直角三角形時,t的值為( )
A.2B.2.5或3.5
C.3.5或4.5D.2或3.5或4.5
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【題目】關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根x1,x2.
(1)求k的取值范圍;
(2)如果,且k為整數(shù),求k的值.
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【題目】如圖,已知△ABC中,∠B=∠C,AB=AC=12cm,BC=8cm,點D為AB的中點.如果點P在線段BC上以2cm/s的速度由B點向C點運動,同時,點Q在線段CA上由點C向A點運動.
(1)若點Q的運動速度與點P的運動速度相等,經(jīng)過1秒后,△BPD與△CQP是否全等?請說明理由.
(2)若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等,當(dāng)點Q的運動速度為多少時,能夠使△BPD與△CQP全等?
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【題目】我市某中學(xué)對本校初中學(xué)生完成家庭作業(yè)的時間做了總量控制,規(guī)定每天完成家庭作業(yè)的時間不超過1.5小時.該校數(shù)學(xué)課外興趣小組對本校初中學(xué)生回家完成作業(yè)的時間做了一次隨機抽樣調(diào)查,并繪制出如圖所示的頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖的一部分.
時間/時 | 頻數(shù) | 百分比 |
0≤t<0.5 | 4 | 0.1 |
0.5≤t<1 | a | 0.3 |
1≤t<1.5 | 10 | 0.25 |
1.5≤t<2 | 8 | b |
2≤t<2.5 | 6 | 0.15 |
合計 | 1 |
(1)求表中a,b的值;
(2)補全頻數(shù)分布直方圖;
(3)請你估算該校1400名初中學(xué)生中,約有多少名學(xué)生在1.5小時以內(nèi)完成了家庭作業(yè).
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