Question

如圖，正六邊形ABCDEF的周長為12，⊙O是正六邊形ABCDEF的內(nèi)切圓．
（1）求⊙O的半徑；
（2）求正六邊形ABCDEF的面積；
（3）求圖中陰影部分的面積；
（4）若扇形OMN是一個圓錐的側(cè)面展開圖，求圓錐的表面積．

Answer 1

考點(diǎn)：正多邊形和圓

專題：

分析：（1）如圖，作輔助線，證明△OAB為等邊三角形，進(jìn)而證明∠AOK=30°，AK=1；借助直角三角形的邊角關(guān)系即可解決問題．
（2）直接根據(jù)三角形的面積公式求出面積即可解決問題．
（3）求出扇形的面積即可解決問題．
（4）求出底面圓的半徑，即可解決問題．

解答：解：（1）如圖，連接OK，則OK⊥AB；
∵正六邊形ABCDEF的周長為12，
∴AB=2，∠AOB=

360°

6

=60°；
∵OA=OB，
∴△OAB為等邊三角形，而OK⊥AB，
∴∠AOK=30°，AK=1；
∵cos30°=

OK

OA

，
∴OK=

3

2

×2=

3

，
即⊙O的半徑R=

3

．
（2）S六邊形ABCDEF=6×

1

2

×2×

3

=6

3

．
（3）∵S扇形OMN=

60π•R2

360

=

3π

6

=

π

2

，
∴S陰影=

1

2

×2×

3

-

π

2

=

3

-

π

2

．
（4）設(shè)圓錐底面圓的半徑為λ，
則

60πR

180

=2πλ，
∴λ=

3

6

，
∴該圓錐的表面積=πλ2+

π

2

=

7π

12

．

點(diǎn)評：該題主要考查了正多邊形和圓的性質(zhì)及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是作輔助線，靈活運(yùn)用有關(guān)定理來分析、判斷、推理或解答．