Question

已知：如圖，矩形ABCD中，AB=12cm，AD=16cm，動(dòng)點(diǎn)E、F分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，均以2厘米/秒的速度分別沿AD向點(diǎn)D和沿CB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（其中t≤6.25）秒
（1）當(dāng)EF與AC垂直時(shí)，求出t的值；
（2）在（1）的條件下，若P為線段AC上一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合），連結(jié)EP，當(dāng)2AE²=AC•AP時(shí)，請判斷EP與AD的位置關(guān)系，并說明理由；求出此時(shí)AP的長．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)及勾股定理就可以求出AC的值，根據(jù)三角函數(shù)值就可以求出sin∠CAD和cos∠CAD的值，由條件可以得出△AOE≌△COF，就可以求出AO=CO，就可以求出AE的值而求出t的值；
（2）過E作EP⊥AD交AC于P，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)就可以證明△AOE∽△AEP，列出關(guān)系式就可以得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵EF⊥AC，
∴∠AOE=∠COF=90°．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠D=90°，AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB．
在△AOE和△COF中

∠CAD=∠ACB ∠AOE=∠COF AE=CF

，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AO=CO，EO=FO．
在Rt△ADC中，由勾股定理，得
AC=20．
∴AO=

1

2

AC=10．
∵AB=12cm，AD=16cm，
∴CD=12．
∴cos∠CAD=

4

5

，
∴

AO

AE

=

4

5

，
∴

10

AE

=

4

5

，
∴AE=

25

2

，
t=

25

2

÷2=

25

4

秒．
答：

25

4

時(shí)，EF與AC垂直；


（2）過E作EP⊥AD交AC于P．
∴∠AEP=90°，
∴∠AEP=∠AOE．
∵∠OAE=∠EAP，
∴△AOE∽△AEP，
∴

AE

AP

=

AO

AE

，
∴AE²=A0•AP，
∴AE²=

1

2

AC•AP，
∴2AE²=AC•AP．

點(diǎn)評：本題考查了矩形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定就性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，三角函數(shù)值的運(yùn)用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等和相似是關(guān)鍵．