Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm. P、Q分別為AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向作勻速移動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向向點(diǎn)C作勻速移動(dòng)，移動(dòng)的速度均為1cm/s，設(shè)P、Q移動(dòng)的時(shí)間為t（0＜t≤4）.

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△BPQ與△ABC相似；

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△BPQ是等腰三角形.

Answer 1

【答案】（1）t=或時(shí)，△BPQ與△ABC相似；（2）t=2.5或或.

【解析】試題分析：

（1）由已知條件易得AB=5，由于△BPQ和△ABC有公共角∠B，所以當(dāng)或時(shí)，兩三角形相似，由此可列出方程解得t的值；

（2）如圖，由題意可知，需分三種情況討論：①BP=BQ時(shí)，可直接列方程求得t的值；②BQ=PQ時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥AB于點(diǎn)E，再證△BQE∽△BAC，從而可利用相似三角形的性質(zhì)列比例式求出此時(shí)t的值；③PB=PQ時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BC于點(diǎn)E，再證△PBE∽△ABC，從而可利用相似三角形的性質(zhì)列比例式求出此時(shí)t的值.

試題解析：

（1）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm.

∴AB=（cm）.

∵△BPQ和△ABC有公共角∠B，

∴①當(dāng)時(shí)，△BPQ∽△BCA，由此可得： ，解得： ；

②當(dāng)時(shí)，△BPQ∽△BAC，由此可得： ，解得： ；

∴當(dāng)或時(shí)，△BPQ與△ABC相似；

（2）①如圖1，當(dāng)BP=BQ時(shí)，△BPQ是等腰三角形，由題意可得： ，解得： ；

②如圖2，當(dāng)BQ=PQ時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥AB于點(diǎn)E，則BE=PE=BP=，∠BEQ=∠C=90°，

又∵∠B=∠B，

∴△BEQ∽△BCA，

∴，即 ，解得： ；

③如圖3，當(dāng)PB=PQ時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BC于點(diǎn)E，則BE=EQ= ，∠BEP=∠C=90°，

又∵∠B=∠B，

∴△BEP∽△BCA，

∴，即，解得： ；

綜上所述，當(dāng)， ， 時(shí)，△BPQ是等腰三角形.