Question

已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB分別與x、y軸交于點(diǎn)B、A，與反比例函數(shù)的圖象分別交于點(diǎn)C、D，CE⊥x軸于點(diǎn)E，tan∠ABO=

1

2

，OB=4，OE=2．
（1）求直線AB的解析式；
（2）求該反比例函數(shù)的解析式；
（3）連接OC，OD，求△COD的面積；
（4）在反比例函數(shù)圖象上找一點(diǎn)P，使S_△CPD=S_△COD，求出P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題

專題：計(jì)算題

分析：（1）先根據(jù)正切的定義計(jì)算出OA，則可得到A點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求直線AB的解析式；
（2）利用直線AB的解析式確定C點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；
（3）先解方程組

y=- 4 x y=- 1 2 x+1

得D點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-1），然后利用S_△OCD=S_△OAC+S_△OAD進(jìn)行計(jì)算；
（4）由于S_△CPD=S_△COD，而兩三角形同底，所以先求出與直線AB平行且到AB的距離等于點(diǎn)O到AB的距離的兩條直線y=-

1

2

x和y=-

1

2

x+2，然后分別把它們與反比例函數(shù)解析式組成方程組，再解方程組即可得到P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）在Rt△ABO中，tan∠ABO=

OA

OB

=

1

2

，
而OB=2，則OA=1，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
把A（0，1）、B（2，0）代入得

b=1 2k+b=0

，
解得

k=- 1 2 b=1

．
∴直線AB的解析式為y=-

1

2

x+1；
（2）∵OE=2，
∴C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2，
把x=-2代入y=-

1

2

x+1得y=-

1

2

×（-2）+1=2，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，2），
設(shè)反比例函數(shù)解析式為y=

m

x

，
把C（-2，2）代入得m=-2×2=-4，
∴反比例函數(shù)解析式為y=-

4

x

；
（3）解方程組

y=- 4 x y=- 1 2 x+1

得

x=4 y=-1

或

x=-2 y=2

，
S_△OCD=S_△OAC+S_△OAD
=

1

2

×1×2+

1

2

×1×4
=3；
（4）過(guò)原點(diǎn)與直線AB平行的直線解析式為y=-

1

2

x，
解方程組

y=- 4 x y=- 1 2 x

得

x=2 2 y=- 2

或

x=-2 2 y= 2

，
則P點(diǎn)坐標(biāo)為（2

2

，-

2

）或（-2

2

，

2

）；
把直線y=-

1

2

x向上平移2個(gè)單位得y=-

1

2

x+2，
解方程組

y=- 4 x y=- 1 2 x+2

得

x=2+2 3 y=1- 3

或

x=2-2 3 y=1+ 3

，
則P點(diǎn)坐標(biāo)為（2+2

3

，1-

3

）或（2-2

3

，1+

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點(diǎn)，方程組無(wú)解，則兩者無(wú)交點(diǎn)．